最美数学公式背后的故事之二：勾股定理(毕达哥拉斯定理)
勾股定理小故事之一:
在中国古代大约是西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。周公问商高：“天不可阶而升，地不可将尽寸而度。”天的高度和地面的一些测量的数字是怎么样得到的呢？
商高说：“故折矩以为勾广三，股修四，经隅五。”
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。商高答话的意思是：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫做“商高定理”。
勾股定理小故事二:
毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着是正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言。
这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形磁砖，但毕达哥拉斯不只是欣赏磁砖的美丽，而是想到它们和[数]之间的关系，于是拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块磁砖以它的对角线 AB为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块磁砖的面积和。
他很好奇，于是再以两块磁砖拼成 的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5块磁砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和。至此毕达哥拉斯作了大胆的假设： 任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和。
爱因斯坦相对论证明勾股定理，人教版教材引围观，网友：我裂开了
机器之心报道
机器之心编辑部
相对论也没想到，自己有生之年还可以被拿来证明勾股定理。
勾股定理是什么，人人都知道：
在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。
如果设直角三角形的两条直角边长度分别是 a 和 b，斜边长度是 c，那么可以用数学语言表达为「a²+b²=c²」。
勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，现存几百种证明方法。
不过，用爱因斯坦相对论中的质能方程证明勾股定理，是怎样的一个过程？
最近，这个话题已经登上了知乎热榜的第一名。
6 月 17 日晚间，一位匿名的知乎用户发布提问「如何看待人教版教材疑似出现低级错误，用爱因斯坦相对论证明勾股定理？」，提到在人教版数学八年级下册的自读课本中，出现了「爱因斯坦对勾股定理的证明」的相关内容。
教材上这样写道：「2005 年是爱因斯坦建立相对论 100 周年，爱因斯坦在相对论中给出了一个著名的质能方程 E=mc²，其中 E 表示物质所含的所有能量，m 是物质的质量，c 是光速，这个质能方程是现代制造、核电站的理论基础。」
紧接着话锋一转，这本教材展示了爱因斯坦用相对论证明勾股定理的详细过程：
首先，假设某一直角三角形的三条边为 a、b、c，同时设这一直角三角形的面积为 E，根据相对论质能方程可知：E=mc²。
然后，从直角顶点出发作斜边 c 的垂线段。此时，这一直角三角形被分割成为了两个小三角形，它们的面积分别为：
E(a)=ma², E(b)=mb²
鉴于 E=E(a)+E(b)，即 mc²=ma²+mb²。
只需要约去式子两边相同的 m，可得 c²=a²+b²。
乍一看，似乎有点道理。也就是说，成功地用相对论质能方程证明了勾股定理？
在证明过程之后，教材编撰者特别提到，爱因斯坦随后发表了这个证明，并且「震惊了国际数学界」。
「大家发现原来相对论有这么大的威力。后来德国著名的数学刊物 Mathematische Annalen 聘请爱因斯坦去做了多年的主编。」
等等，为什么质能方程里的 m 可以随便约掉，真空光速 c 和斜边长 c 也变成了一回事？
一场迷惑的数学证明：翻译的锅？
看完这个头头是道的证明过程以后，许多网友表示「我裂开了」，并缓缓打出了一个问号：
虽然一眼看起来就是很不靠谱，但大家也尝试分析了一下教材上出现这种低级错误的原因。
知乎用户 @卢健龙表示：「用量纲分析和相似三角形来证明勾股定理本来是一个很巧妙的思路。将大的直角三角形以斜边上的高分成两个小直角三角形后，三个直角三角形是互为相似三角形的，它们各自的面积正比于各自斜边边长的平方（来源于量纲分析），且三者的系数相等（来源于相似性）。将这个共同的系数记为 m，将三个直角三角形的斜边长度分别记为 c、a 和 b，便有了等式：mc²=ma²+mb²，约去非零系数 m 便得到了勾股定理。
题目中课本的编写者可能是看到『mc²』和『爱因斯坦』等字眼，便自作聪明地将这个证明与相对论中的质能方程 E=mc² 联系了起来。这也体现了编写者自己并没有真正理解这个证明的思路，只是根据一知半解的主观臆想去脑补和传播错误信息。」
也有人认为，这是翻译教材时出错的结果。知乎用户 @张峻铭表示：「我估计是翻译的老师意淫出了这么一个过程。」
知乎用户 @张峻铭：先不说把光速和斜边长混淆起来多么可笑了，即便这个过程是对的，我印象里相对论的推导也是用到了勾股定理来着，这样难道不算循环论证？
话说回来，爱因斯坦究竟有没有证明过勾股定理？
爱因斯坦和勾股定理
经过一番查证，我们得知，爱因斯坦确实证明过勾股定理，但和质能方程真的没什么关系。
这是另外一个版本的经历，故事还要从他 12 岁说起……
根据 The NewYorker 在 2015 年刊发的一篇报道，1949 年，爱因斯坦在美国的一本文学杂志《星期六评论》上发表文章，回忆了自己童年的两个重大时刻。12 岁时，爱因斯坦得到了一本「关于欧几里得平面几何的小册子」，里面所提到的毕达哥拉斯定理（也就是勾股定理）令他着迷。最终他证明了这一定理，并在文章中提到自己使用的是「三角形的相似性」。
后人尝试还原了这个过程。当我们从直角顶点作垂线段时，原三角形就被分成了两个小三角形。
因为它们对应的角是相等的，对应的边长也是等比的，所以我们称之为「相似」。因此，这三个三角形的面积可表示为 fc、fa、fb，显然 fc=fa+fb。
如下图所示，a²、b²、c² 分别代表由三角形斜边形成的正方形的面积。
注意，在相似性的前提下，每一个正方形的面积都与对应的三角形面积有着等比关系。
因此推导出，a²+b²=c²。
当然，由于年代已久，我们无从得知幼年的爱因斯坦具体是如何证明勾股定理的，也无从得知他当年的证明方法是否独树一帜。但总归和相对论没有任何联系。
更重要的是，这一错误出现在义务教育阶段的课本上，购买了这本教材的学生，会不会因此产生理论认知上的偏差呢？
在某电商平台上，这本教材已经售出了 600 本。
古希腊之毕达哥拉斯发现勾股定理
“我是赫尔墨斯之子。”在一次演讲中，毕达哥拉斯站起身来，白色的纱布，挡在他与他的教徒之间，“我的天赋，来自于神灵，我会死去，然后又会不断地复活，直到永生。”这段话说完，他忍不住咳嗽几声，咳嗽声已经淹没在信众们潮水一般的欢呼声中，“毕达哥拉斯，永生，永生！”
这看起来就像是邪教教徒聚会的一幕，发生在毕达哥拉斯晚年的传教生涯中。后人如何也想不到，正是这样一位狂热的教主，他在公元前520年左右，发现了影响至今的勾股定理，而且还发展了几何公理体系。
在当时，数学和神秘主义几乎是分不开的。在毕达哥拉斯的教义里，他就把数字当作宗教信仰，认为数字是万物之源······甚至还要求教众的生活严格按照规律和秩序来执行。例如，毕达哥拉斯要求教徒每天起床后应该先用右脚走路。无论如何，这看起来都不像一个正经的教派。
年轻时的毕达哥拉斯不喜欢政体，他是贵族的一员，在他三十岁时，他反对萨摩斯岛的僭主波利克拉提斯，只能逃走。毕达哥拉斯在埃及和巴比伦游历一番，在埃及，他接触到俄尔普斯教，当时已转到地下活动的俄尔普斯教鼓吹神秘主义，鼓吹人的转世，也提倡素食，这些要素，后来都被毕达哥拉斯吸收到自己的教派之中。他还学会了地下教会近乎人身控制的方式，以增加信众们对自己无限崇拜。
回到萨摩斯岛后，毕达哥拉斯到处演讲，也宣扬俄尔普斯教，仍不受欢迎，年近半百的他，只能移居到意大利南部的希腊殖民城市克罗托内。
在克罗托内，毕达哥拉斯把俄尔普斯教中的神秘主义、转世主义，以及数字和音乐，还有人身控制等等，混和在一起建立了毕达哥拉斯教派。毕教主宣称他的教会，要为希腊提供优秀的人才，进入教会的所有人，首先要把财产交给教主。
此外，教徒还要有半年至五年的学徒时期；在这期间，教徒要不断聆听毕教主的教喻，按照毕教主的要求去做。比如毕教主告诉教众，男人的体液是男人生命的一部分，流失体液，就是流失男人的生命。所以，男人要入教，首先要禁欲。
毕教主迷恋数字，他认为数字是现象背后的基本要素。比如毕教主就详细的把不同竖琴上的琴弦做过统计，他发现，琴弦数量越多、由低到高排列的越整齐，奏出的声音就越好听。这就是数论规律。
毕教主习惯于在日常生活中发现各种规律。同时更喜欢研究天文学，毕教主认为，地球在一个活动的球体的内部做贴壁环绕运动，因为10是个完美的数字，那么有十颗行星在这样运转着，包括太阳、地球和月球。黑夜的来临，毕教主一时解释不清楚。
有一天，毕教主拿起一颗紫色的葡萄，放在眼前，挡住了阳光，他突然窜出一个极有趣的念头。在太阳与地球之间，有一个黑色的球体，这球体在黑夜里，把太阳的光吸走，这个球体可以看作反地球。从中可以看到，毕教主真能在日常生活中找到规律，勾股定律也是这样发现的。
在克罗托内，有一次毕教主参加一次餐会，餐会上的鱼迟迟没有上来，大家都在吃面包和水果，他看着脚下正方形的石砖，无聊的用树枝在一块石砖上以它的对角线为边画了一个正方形。
毕教主发现，这个正方形的面积，恰好等于两块砖的面积之和。接着，他又把两块石砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形边时，这个正方形之面积相当于5块石砖的面积。通过不断的演算，毕达哥拉斯发现，在任何一个平面直角三角形中，两直角边的平方之和，等于斜边的平方。这就是勾股定律。
发现勾股定律后，毕达哥拉斯认为，他拿到了“数字是万物之源”的证据。因此，毕达哥拉斯成为哲学史上第一位唯心主义者，数是万物的本源，就是一个唯心主义命题。
毕达哥拉斯身体强壮，七十余岁时，他多次宣称，他会在死亡后转生，他的教派在意大利南部的希腊殖民地不断吸收信众，与当地民众的关系也开始恶化。
当地的人们开始用暴力对待毕达哥拉斯教派的信众，在这样的环境中，毕达哥拉斯在一次冲突后死亡。
在毕达哥拉斯的人生中，数字与神秘主义，是他用来吸引人的，他发现了勾股定律，则帮助教派奠定了数论基础。
【勾股定理的故事-勾股定理的故事视频讲解】相关文章：