今天给各位分享第二章：数学数值逼近技术解析的知识，其中也会对进行解释，如果能碰巧解决你现在面临的问题，别忘了关注本站，现在开始吧！
三个基本问题：
所选择的逼近函数类型是根据一定的目标进行逼近：可分为插值和拟合，研究逼近函数的存在性、唯一性、收敛性和误差估计等理论问题。
插值法
牛顿插值与拉格朗日插值多项式
从阶差商到牛顿插值多项式
优点是每增加一个插值点就增加一项，方便计算。
插值多项式也可以表示为插值基函数
在
上式称为拉格朗日插值多项式
也可以写成
在
截断误差表示为
上式称为插值余数，还有差商的表达式：
对比上面两个方程，我们可以得到差商和导数的关系
事实上，当时极限就是泰勒展开式的余数。
Hermite插值
除了满足函数值的要求外，还需要满足导数条件。
余数为
以插值点
插值函数的收敛性与稳定性
为插值点，得到插值多项式序列。
如果为，则称插值多项式序列收敛到，否则称不收敛。
理论上可知，满足上述条件的拉格朗日插值多项式序列是不收敛的。
例如，是由上的等距节点构造的插值多项式序列。当时，仅在这三个点收敛到010-6951。 8.（以伯恩斯坦为例）
Runge给出了一个例子：、是在上等距节点插值得到的，在处并没有收敛到。
这两个例子说明高阶插值多项式不能保证其收敛性。
下面讨论插值函数的稳定性。当误差为时，即实际计算插值函数时使用的函数表为，准确值为。我们要研究当足够小时，插值函数的误差是否随增大，这就是插值函数的稳定性。
是计算出的插值函数
这样就得到了插值函数的总误差
第一项是截断误差，第二项是舍入误差，即
如果有界，
那么插值函数是数值稳定的。定义如下
定义用于任何给定如果用于任何目的
"https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cmax%20_%7B1%20%5Cleqslant%20i%20%5Cleqslant%20n%7D%5Cleft%7Cf_%7Bi%7D-%5Ctilde%7Bf%7D_%7Bi%7D%5Cright%7C%20%5Cleqslant%20%5Cdelta" alt="max _{1 leqslant i leqslant n}left|f_{i}-tilde{f}_{i}right| leqslant delta" />就有则称插值函数是稳定的，否则就是不稳定的。 从定义看到，插值函数稳定，则其舍入误差可以忽略不计,而插值函数是否稳定则取决于是否有界.对于拉格朗日插值多项式则有是无界的,这表示高次插值多项式是不稳定的.因此从收敛性与稳定性考虑,使用高次插值多项式是不可取的,故当插值节点较大时一般不用多项式插值,而采用分段低次插值或样条插值.样条插值函数
在具有收敛性与稳定性的插值函数中,最常用和最重要的时样条插值函数插值,而且用样条插值函数给出的光滑插值曲线或曲面在飞机、轮船、汽车等精密机械设计中有着广泛的应用.在数值逼近、数值微积分、微分方程数值解等计算数学领域中，样条函数是重要的工具.定义设上的一个剖分,如果函数满足条件 1.2.在每个子区间上是次代数多项式. 则称是关于节点剖分的次样条函数. 若再给定在节点上的值,并使则称是的次样条插值函数. 通常用的比较多的是的具有二阶连续导数的三次样条插值函数. 三次样条函数在每个子区间上可用四个系数唯一确定，因此在上有个待定参数,由于给出个条件,加上插值条件共个,因此还需要两个边界条件. 分为三种情况:
B样条函数
之前导出的三次样条插值函数分别在每个子区间上有表达式,这在应用上和理论分析中不是很方便，而如果利用基样条表示往往更为方便.为此可根据定义给出的次样条函数概念，构造次样条函数空间的基函数. 设区间的剖分上的次样条函数全体组成的集合为,它是一个线性空间，并且它的维数是维,因为至多有个自由参数,由连续性条件知有个约束条件,的维数至多为. 定义截幂函数为下面证明,中的个样条函数在区间上线性无关,从而可得出维数为. 定义6 设是节点序列，令,函数关于的阶差商称为第个次样条函数，简称样条函数。 利用差商的性质其中.由此得到定义中的个样条函数是线性无关的，所以组成的一组基。这样对任何在上关于剖分的次样条函数都可以表示成这样求得问题就归结为求系数，实际上就是解线性方程组。例如，已知在点上得函数值,及处的导数值及,要求三次样条插值函数. 由上式可得方程组求出这个系数，则得三次样条插值函数. 为了说明上式得系数矩阵特点并研究其解的存在唯一性，以及确定系数就必须了解样条函数的性质。下面给出样条函数的一些重要性质，其证明可根据样条函数定义及差商性质得到。性质1递推关系性质2正性与局部非零性性质3规范性性质4样条的导数 当；当(时除为节点外)内积空间与正交多项式
定义7 设为有限或无限空间,是定义在上的非负函数，对都存在，对非负,若则，称为上的权函数。 定义8 设,为上的权函数，定义称为函数与的内积。 由内积定义得,称为的加权欧式(Euclid)模或加权2-范数。当时就是2-范数。 定理4 设，则在上线性无关的充分必要条件是,其中其中表示内积。 定义 若为上的权函数，若则称与在上带权正交。若函数序列在上两两正交，即则称为正交函数族。 由于序列是线性无关的，利用正交化方法可以构造出在上带权正交的多项式序列:这样构造的正交多项式序列由以下性质： (1)是最高项系数为1的次多项式 (2)任何次多项式均可表示为的线性组合 (3)当时且与任一次数小于的多项式正交。 正交多项式还有以下的重要性质： 定理5 在上带权的正交多项式序列,若最高项系数为1，它便是唯一的，且由以下的递推公式确定：其中这里定理6 设是在上带权的正交多项式序列，则的个根都是单重实根，且都在区间内。勒让德多项式
在区间上权函数的正交多项式称为勒让德多项式，其表达式为的首项的系数为记则是首项系数为的勒让德多项式。 勒让德多项式有许多重要的性质，特别有： 正交性递推公式其中.切比雪夫多项式
在区间上权函数的正交多项式称为切比雪夫多项式，它可表示为若令,则,这是的参数表示。利用三角公式可将展成的一个次多项式，故上式是的次多项式。下面给出的主要性质： 正交性只要对积分做变换,利用三角公式即可得到上式结果。递推公式奇偶性在内的个零点为,在上有个极点的最高次幂的系数为其它正交多项式
第二类切比雪夫多项式
在区间上权函数为的正交多项式称为第二类切比雪夫多项式，其表达式为也可表示为,它有递推公式其中.的正交性为拉盖尔多项式
在区间上，权函数的正交多项式称为拉盖尔多项式，其表达式为它的递推公式为其中.正交性为欸而米特多项式
在区间上，带权的正交多项式称为埃尔米特多项式，其表达式为它的递推公式为其中正交性为函数的最佳平方逼近
最佳平方问题及其解法
设为上个线性无关函数,记,则对有用逼近，使满足其中是上的权函数，这就是最佳平方逼近问题。若由函数表给出，则最佳平方逼近问题是求使得这里是点处的权。 定义11 设,若存在使则称为在中的最佳平方逼近函数。 由定义知，求解等价于求多元函数的极小值。由于是关于参数的二次函数，由多元函数极值必要条件得于是有这是关于的线性方程组，称为法方程。由于线性无关，由定理知上式得系数矩阵非奇异，故方程组有唯一解于是有记,称为最佳平方逼近误差，简称平方误差，由于，故作为特例，若取区间取.此时在上得最佳平方逼近多项式为此时由于对应得中元素.称为希尔伯特矩阵。 此时法方程为它的解为由此则得最佳平方逼近多项式.由于是病态矩阵，在时直接解法方程误差很大，因此当时解法方程方法只适合的情形，对可用正交多项式作的基求解最佳平方逼近多项式。用正交函数族做平方逼近
如使用勒让德多项式逼近得到的多项式和由为基得到的是一致的，但此处不用解病态法方程，且在所有系数为1 的n次多项式中，勒让德多项式在上与零的平方误差最小曲线拟合的最小二乘法
当是由实验或观测得到的，其函数通常是由表格给出.若要求曲线逼近,通常由于观测有误差，因此不一定成立，当只要求就是曲线拟合的最小二乘问题。此时求的问题等价于求多元函数的极小值，和之前一样可以得到法方程：只是这里内积由积分换成和式，即周期函数逼近与快速傅里叶变换
周期函数的最佳平方逼近
当为周期函数时，用三角多项式逼近比用代数多项式更合适。 在离散点集上给出函数值可以证明，当时三角函数族为离散点集的正交函数族.于是给出此时最小二乘解的系数，特别的，当时，则有此时就是三角插值多项式. 更一般情形，假设是以为周期的复值函数，已知，令则关于节点正交，从而由离散傅里叶正变换逆变换(Discrete Fourier Transformation, DFT)。快速傅里叶变换(FFT)
上一节的傅里叶分析都可以归结为计算需要次复数乘法，次复数加法。 FFT的思想是尽量减少式子中乘法次数，注意到是等分复平面单位圆上的一点，且所以只有个不同值，特别当时，只有个不同值，因此可把同一个对应的相加后再乘,这就能大量减少乘法次数。 下面介绍时的算法，把分别用二进制表示为其中只能取0或1，相应地令于是原式可分为层求和，即当时，它是非快速算法运算量地最佳一致逼近
最佳一致逼近多项式
定义12 设称为与的偏差：定义13 设，若存在使则称为在上的最佳一致逼近多项式。 定理 8 若若使则称是关于的偏差点。 若，则称为正偏差点； 若,则称为负偏差点。定理8(切比雪夫)是的最佳逼近多项式的充分必要条件是，在上至少有个轮流为正负的偏差点，即至少有个点使得上述点称为切比雪夫交错点组。推论1(唯一性定理)设,则在中的最佳逼近多项式是唯一的。推论2若，则其最佳逼近多项式是的一个拉格朗日插值多项式 切比雪夫定理从理论上给出了求最佳一致逼近多项式方法，但当时计算是很困难的，Remes给出了一种逐次逼近的算法。 设的最佳逼近多项式为又设它的个点为切比雪夫交错点组，最小偏差为由定理可得方程。这是关于的个未知量的个方程(参考书本p54，这个方法也很复杂，很少用)零偏差最小多项式及其应用
定理10 所有最高项系数为1的次多项式中，在区间上与零偏差最小的多项式是这里是最高项系数为1的切比雪夫多项式，用切比雪夫多项式的零点作差值的插值多项式，余项具有极小化性质。函数按切比雪夫多项式展开
由于切比雪夫多项式具有零偏差最小的性质，因此若将直接按展开并用它逼近，也可得到近似的最佳逼近多项式。由于是在上的带权正交函数族。有理逼近
有理逼近与连分式
可以有效减少运算量有理插值
设给定在个互异节点上的值,要求一个有理函数使,实际上只有个独立参数。对有理插值，首先要研究解的存在唯一性问题，其次使如何构造插值函数，第三是误差估计问题。 构造反差商进行计算。【第二章：数学数值逼近技术解析】相关文章：
用户评论
终于到这章了！之前一直对数值逼近有点懵懂啊。
有8位网友表示赞同！
要开始学习如何用数字来解决问题了吗？感觉很有意思！
有7位网友表示赞同！
这个章节内容会比较抽象吗？希望能够看得明白。
有10位网友表示赞同！
数值逼近好像很常见的样子，应用得很多吧？
有6位网友表示赞同！
期待能学到一些实际案例，更加理解数值逼近的意义。
有7位网友表示赞同！
我已经开始对这个章的内容充满了好奇心了。
有18位网友表示赞同！
我之前看过一些关于数值逼近的简单讲解，感觉挺有趣的！
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希望这章能够系统地介绍一下数值逼近的方法和技巧。
有13位网友表示赞同！
学习完这章后，会不会可以自己模拟一些简单的物理现象？
有15位网友表示赞同！
这个章节可能会比较难理解吗？需要好好背诵笔记了。
有13位网友表示赞同！
我好想了解更多关于逼近方法的知识！
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数值逼近可以用在很多工程问题上吧？很实际性的一门课程啊！
有9位网友表示赞同！
感觉这章内容可能会比较深入，但我依然很期待学习！
有6位网友表示赞同！
希望老师能够讲解得清晰易懂，更容易理解。
有13位网友表示赞同！
数值逼近这个词语听起来就很有科技感!
有6位网友表示赞同！
我要好好加油，争取把这章学的清清楚楚。
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学习完数值逼近，会不会可以写一些有趣的代码呢？
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希望能学到一些实用技能，将来能够帮助我解决实际问题！
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感觉这是一个很有深度的一门课程！
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