不可不读——（选修课必备）数学史兴趣阅读之数学家的故事
毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前572—公元前497），古希腊哲学家和数学家。他最早悟出万事万物背后都有数的法则在起作用，无论是解说外在物质世界，还是描写内在精神世界，都不能没有数学。
毕达哥拉斯自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学。后来，因为向往东方的智慧，经过万水千山来到巴比伦、印度和埃及，吸收了阿拉伯文明和印度文明甚至中国文明中的丰富营养，大约在公元前530年又返回萨摩斯岛。后来又迁居意大利南部的克罗通，创建了自己的学派，一边从事教育，一边从事数学研究。
公元前572年，毕达哥拉斯出生在米里都附近的萨摩斯岛（今希腊东部的小岛）——爱奥尼亚群岛的主要岛屿城市之一，此时的群岛正处于极盛时期，在经济、文化等各方面都远远领先于希腊本土的各个城邦。毕达哥拉斯的父亲是一位富商。毕达哥拉斯9岁时被父亲送到提尔，在叙利亚学者那里学习，在这里他接触了东方的宗教和文化。此后，他又多次随父亲商务旅行到小亚细亚。
公元前551年，毕达哥拉斯来到米里都、得洛斯等地，拜访了泰勒斯、阿那克西曼德和菲尔库德斯，并成为他们的学生。在此之前，他已经在萨摩斯的诗人克莱非洛斯那里学习了诗歌和音乐。
公元前550年，年近30岁的毕达哥拉斯因宣传理性神学，穿东方人的服装，蓄上头发，从而引起了当地人的反感，从此萨摩斯人一直对毕达哥拉斯有成见，认为他鼓吹邪说。
毕达哥拉斯被迫于公元前535年离家前往埃及。他于途中在腓尼基各沿海城市停留，学习当地神话和宗教，并在提尔一座神庙中静修。
抵达埃及后，国王阿马西斯推荐毕达哥拉斯入神庙学习。从公元前535年到公元前525年这十年中，毕达哥拉斯学习了象形文字、埃及神话历史和宗教，并宣传希腊哲学，受到许多希腊人的尊敬，更有不少人于他的门下求学。
毕达哥拉斯在49岁时返回家乡萨摩斯，开始讲学并开办学校，但是这一举动没有达到他预期的成效。公元前520年左右，为了摆脱当时君主的暴政，他与母亲和唯一的一个门徒离开萨摩斯，移居西西里岛，后来定居在克罗托内。在那里他广收门徒，建立了一个宗教、政治、学术合一的团体。
他的演讲吸引了社会各阶层的人士，很多上层社会的人士也来参加演讲会。按当时的风俗，妇女是被禁止出席公开的会议的，毕达哥拉斯打破了这个成规，允许她们也来听讲。热心的听众中就有他后来的妻子西雅娜，她年轻漂亮，曾给他写过传记，可惜已经失传了。
这个社团里有男有女，地位一律平等，一切财产都归公有。社团的组织纪律很严密，甚至带有浓厚的宗教色彩。每个学员都要在学术上达到一定的水平，加入组织还要经过一系列神秘的仪式，以求达到“心灵的净化”。他们要接受长期的训练和考核，遵守很多的规范和戒律，并且宣誓永不泄露学派的秘密和学说。他们相信依靠数学可使灵魂升华，与上帝融为一体，“万物皆数”“数是万物的本质”，是“存在由之构成的原则”，而整个宇宙是数及其关系的和谐的体系。上帝通过数来统治宇宙。这是毕达哥拉斯学派和其他教派的主要区别。
学派的成员有着共同的哲学信仰和政治理想，他们吃着简单的食物，进行着严格的训练。学派的教义鼓励人们自制、节欲、纯洁、服从。他们开始在大希腊（今意大利南部一带）赢得了很高的声誉，产生过相当大的影响，也因此引起了敌对派的嫉恨。后来受到民主运动的冲击，社团在克罗托内的活动场所遭到了严重的破坏。毕达哥拉斯被迫移居他林敦（今意大利南部塔兰托），并于公元前497年去世。后来，许多门徒逃回希腊本土，在弗利奥斯重新建立据点，另一些人到了塔兰托，继续进行数学哲学研究以及政治方面的活动，直到公元前4世纪中叶。毕达哥拉斯学派持续繁荣了两个世纪之久。
毕达哥拉斯本人以发现勾股定理（西方毕达拉斯定理）著称于世。有一次，他应邀参加一位富有政要举行的餐会，这位主人豪华宫般的餐厅铺着正方形美丽的大理石地砖。由于大餐迟迟不上桌，饥肠辘辘的贵宾颇有怨言，这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形地砖。但毕达哥拉斯不只是欣赏地砖的美丽，而是想到它们和“数”之间的关系，于是拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块地砖以它的对角线长度为边画了一个正方形，他发现这个正方形的面积恰好等于两块地砖的面积和。他很好奇，于是再以两块地砖拼成的矩形的对角线画了另一个正方形，他发现这个正方形的面积等于5块地砖的面积，也就是以该矩形两边作正方形面积之和。至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两条边平方之和。那一顿饭，这位古希腊数学大师的视线都一直没有离开地面。
不过，这定理早已为巴比伦人和中国人所知。大约是战国时期的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。
商高说：“……故折矩，勾广三，股修四，径隅五。”意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别长为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简练地把这个事实说成“勾三股四弦五”。这就是中国著名的勾股定理，不过最早的论证大概可归功于毕达哥拉斯。他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和，即“毕达哥拉斯定理”。
现在我们所能知道的关于欧几里得（Euclid，约公元前330年—公元前275年）的生平事迹很少。欧几里得出生于雅典，是柏拉图的学生。他的科学活动主要是在亚历山大进行的，在这里，建立了以他为首的数学学派。公元前300年左右，在托勒密王（公元前364年—公元前283年）的邀请下，欧几里得来到亚历山大，长期在那里工作。
欧几里得以他的主要著作《几何原本》而著称于世，这是古希腊数学发展的顶峰。他把前人的数学成果加以系统整理和总结，以严密的演绎逻辑，把建立在一些公理之上的初等几何学知识构成一个严整的体系。欧几里得建立起来的几何学体系之严谨和完整，就连20世纪最杰出的大科学家爱因斯坦也不能不对他另眼相看。爱因斯坦说：“一个人当他最初接触欧几里得几何学时，如果不曾为它的明晰性和可靠性所感动，那么他是不会成为一个科学家的。”
《几何原本》中的数学内容也许没有多少为他所创，但是关于公理的选择、定理的排列以及一些严密的证明无疑是他的功劳，在这方面，他的工作出色无比。
欧几里得的《几何原本》共有13篇，首先给出的是定义和公理。比如他首先定义了点、线、面的概念。他整理的5条公理包括：
（1）从一点到另一任意点作直线是可能的。（2）所有的直角都相等。（3）a=b，b=c，则a＝c。（4）若a＝b，则a+c＝b+c，等等。（5）整体大于部分，这是欧几里得自己提出的一条公理。虽然这条公理不像别的公理那么一望便知，不那么容易为人接受，但这是欧氏几何中必不可少的。他能提出来，这恰恰显示了他的天才。
欧几里得，这位亚历山大大学的数学教授，已经把大地和苍天转化为一幅由错综复杂的图形所构成的庞大图案。他运用他的惊人才智及指挥灵巧的手指将这个图案拆开，分成简单的组成部分：点、线、角、平面、立体，把一幅无边无垠的图，译成初等数学的有限语言。
欧几里得空间中的一个三角形α+γ+β=180°
罗马切夫斯基空间中的一个三角形180°-α-γ-β=常数×面积
尽管欧几里得简化了他的几何学，但他坚持对几何学的原则进行透彻的研究，以便他的学生们能充分理解它。据说，亚历山大国王多禄米曾师从欧几里得学习几何，有一次，他对欧几里得一遍又一遍地解释其原理表示出不耐烦。
国王问道：“有没有比你的方法简捷一些的学习几何学的途径？”欧几里得答道：“陛下，乡下有两条道路，一条是供老百姓走的难走的小路，另一条是供皇家走的坦途。但是在几何学里，大家只能走同一条路。走向学问，是没有什么皇家大道的，请陛下明白。”欧几里得的这番话后来被推广为“求知无坦途”，成为传诵千古的箴言。
还有一个故事说的是欧几里得和妻子吵架，妻子很生气，说道：“收起你的乱七八糟的几何图形，它难道为你带来了面包和牛肉？”
欧几里得天生是个憨脾气，只是笑了笑，说道：“你知道吗？我现在所写的，到后世将价值连城！”
妻子嘲笑道：“难道让我们来世再结合在一起吗？你这书呆子。”
欧几里得刚要争论，只见妻子拿起他写的《几何原本》的一部分投入火炉中，他连忙来抢，可是已经来不及了。
据说妻子烧掉的是《几何原本》中最精彩的一章。这个遗憾是无法弥补的，她烧的不仅仅是一些有用的书，还是欧几里得血汗和智慧的结晶。
由于欧几里得知识渊博，他的学生们简直把他当作偶像来崇拜。欧几里得在教授学生时，像一个真正的父亲那样引导他们、关心他们。然而，他有时也批评比较傲慢的学生，使他们谦逊。有一个学生在学习了第一定理之后，便问道：“学习几何，究竟会有什么好处？”于是，欧几里得转身吩咐佣人说：“格鲁米阿，拿三个钱币给这位先生，因为他想在学习中获得实利。”
欧几里得主张学习必须循序渐进、刻苦钻研，不赞成投机取巧的作风，更反对狭隘的实用观念。后来者帕波斯（Pappus）就特别赞赏他这谦逊的品德。像古希腊的大多数学者一样，欧几里得对于他的科学研究的“实际”价值是不大在乎的。他喜爱为研究而研究。他羞怯谦恭，与世无争，平静地生活在自己的家里。在那个充满勾心斗角的世界里，对于人们吵吵闹闹、俗不可耐的表演，则听之任之。他说：“这些浮光掠影的东西终究会过去，但是，星罗棋布的天体图案，却是永恒地岿然不动。”
欧几里得除了写作重要几何学巨著《几何原本》外，还著有《数据》《图形分割》《论数学的伪结论》《光学》《反射光学之书》等著作。
多少个世纪以来，中国在技术方面一直领先于欧洲，但是从来没有出现一个可以同欧几里得媲美的数学家，因为中国从未拥有过欧洲人那样的数学理论体系（中国人对实际的几何知识理解得不错，但他们的几何知识从未被提高到演绎体系的高度）。
直到1600年，欧几里得的学说才被传入中国，此后，又用了几个世纪的时间，他的演绎几何体系才被受过教育的中国人普遍知晓。在这之前，中国人并没有从事实质性的科学工作。在日本，情况也是如此。直到18世纪，日本人才知道欧几里得的著作，并且用了很多年才理解了该书的主要思想。
人们不禁会问，如果没有欧几里得的奠基性工作，科学会在欧洲产生吗？如今，数学家们已经认识到，欧几里得的几何学并不是能够设计出来的唯一的一种内在统一的几何体系。在过去的150年间，人们已经创立出许多非欧几里得几何体系。自从爱因斯坦的广义相对论被接受以来，人们的确已经认识到在实际的宇宙之中，欧几里得的几何学并非正确的。例如，在黑洞和中子星的周围，引力场极为强烈，在这种情况下，欧几里得的几何学无法准确地描述宇宙的情况。但是，这些情况是相当特殊的。在大多数情况下，欧几里得的几何学是可以给出十分近似于现实世界的结论的。
不管怎样，人类知识的最新进展都不会削弱欧几里得学术成就的光芒，也不会因此贬低他在数学发展和建立现代科学成长必不可少的逻辑框架方面的历史重要性。
阿基米德（Archimede，公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的数学家、力学家、天文学家，生于西西里岛（Sicilia，今属意大利）的叙拉古（Sracusa，又译锡拉库萨），卒于叙拉古。
和其他的古希腊数学家相比，阿基米德的生卒年是比较确定的。J. 策策斯（Tzetazes，约1110年—1180年）在《史书》（Book of Histories）中记载：“智者阿基米德是叙拉古人，著名的机械制造师，终生研究几何，活到75岁。”对于阿基米德之死，Ｔ. 李维（Livius，公元前59年—公元前17年）、策策斯等历史学家作了不同的描述，但一致同意他是在叙拉古陷落（公元前212年）时被罗马士兵所杀的。以此倒推回去，他应出生于公元前287年。
阿基米德是叙拉古统治者海厄罗王（HieroⅡ，约公元前308年—公元前216年，约公元前270年—公元前216年在位）的亲戚，和王子吉伦（Gelon，后继承王位）是朋友。父亲菲迪亚斯（Phidias）是天文学家。
阿基米德早年曾在当时希腊的学术中心亚历山大跟随欧几里得的门徒学习，对欧几里得数学进一步的发展作出了一定的贡献。在那里他结识了许多同行好友，如科农（Conon of Samos），多西修斯（Dositheus）以及埃拉托塞尼（Eratosthenes）等。回到叙拉古以后他仍然和他们保持密切的联系，因此阿基米德也算是亚历山大学派的成员，他的许多学术成果就是通过和亚历山大的学者通信往来保存下来的。后人对阿基米德给予极高的评价。数学史家E. T. 贝尔（Bell，1883年—1960年）说：“任何一张列出有史以来三个最伟大的数学家的名单中，必定会包括阿基米德，另外两个通常是牛顿和高斯。不过以他们的丰功伟绩和所处的时代背景来对比，拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德。”普林尼（Pliny，23年—79年）甚至称阿基米德为“数学之神”。这些过分的赞扬，反映了后世对阿基米德的崇敬。
赫拉克利德（Heraclides）曾写过阿基米德的传记，欧托基奥斯（Eutocius of Ascalon）不止一次提到这件事，可惜传记已失传，阿基米德的生平事迹，散见于各种文献中。
在阿基米德的一生中，最悲壮、最惊心动魄的一幕是他以古稀之龄，投身于反侵略战争，最后为国捐躯。
迦太基（Carthage）是古代腓尼基（Phoenicia）人建立的国家，以现今非洲北部的突尼斯为中心，领土东到西西里岛，西达西班牙和摩洛哥。由于商业和殖民利害的冲突，从公元前264年起到公元前146年为止，前后三次和罗马人进行了猛烈的战斗，延续120年之久。罗马人称迦太基人为腓尼（Poeni），转称布匿人（Punic），故史称“布匿战争”。第二次布匿战争发生于公元前218年至公元前201年 ，叙拉古和迦太基缔结同盟，因此成为罗马的仇敌。公元前214年，罗马名将马塞勒斯（Marcus Claudius Marcellus，约公元前268年—公元前208年）率领大军围攻叙拉古。在这危急存亡之际，阿基米德便献出自己一切杰出的科学技术为祖国效劳。
详细记述这次保卫战的主要有三本书：波利比奥斯（Polybius，约公元前200年—公元前118年）的《通史》（共40卷），李维的《罗马史》及普卢塔克的《马塞勒斯传》（Vitamarcelli）。此外，策策斯、卢西恩（Lucian，约120年—180年以后）等对此也有所论述。
马塞勒斯从陆上及海上袭击叙拉古。阿基米德用他发明的起重机之类的器械将靠近墙根的船只抓起来，再狠狠地摔下去，有的被撞得粉碎，有的沉入海底。马塞勒斯也不甘示弱，他用8艘5层橹船，每两艘连锁在一起，架起一种叫“萨姆布卡”的武器，准备攻城。可是叙拉古人未等敌船靠近，就用强大的机械将巨大的石块抛出，打得“萨姆布卡”七零八落；同时万齐发，罗马士兵死伤无数，吓得目瞪口呆的马塞勒斯下令退兵。在陆上，罗马士兵也没有占到便宜。多次进攻，均未得逞。
有一种传说是阿基米德用巨大的火镜（Burning-mirror）反射阳光来焚烧敌船，这大概是夸张的说法，最早见于卢西恩的记载。不过当时阿基米德已经发现抛物面反射镜能够聚焦的性质。有的书说是将燃烧的火球弹射出去使敌船着火，这种说法比较可信。
无论如何，罗马士兵已成惊弓之鸟，简直是“风声鹤唳，草木皆兵”，只要看到一根绳子或一块木头从城里扔出来，立刻抱头鼠窜，大呼：“阿基米德的机器又瞄准我们了。”
罗马人在一次军事会议上决定夜间偷袭，他们以为飞弹只能在远距离起作用，黑夜可以避开城上的视线，一旦接近城墙，飞弹就无能为力了。谁知阿基米德早有防备，制造了一种叫“蝎子”的炮，专门对付近处的敌人。罗马士兵又一次吃了大亏。马塞勒斯嘲笑他自己的工程师和工兵说：“我们还能同这个懂几何的‘百手巨人’（Briareus）战斗下去吗？他轻松地稳坐在海边，把我们的船只像掷钱游戏（Pitch and toss）似的抛来抛去，船队被搞得一塌糊涂，还射出那么多的飞弹，比神话里的百手妖怪还厉害。”（注释：来源普卢塔克作《马塞勒斯传》）
后来罗马士军放弃正面进攻，改用长期围困的策略。叙拉古终于因粮食耗尽和叛徒的出卖而沦陷。公元前212年，75岁的阿基米德也光荣牺牲了。
阿基米德留下的数学著作不下10种，多数为希腊文手稿，也有的是13世纪以后从希腊文译成拉丁文的手稿。由J. L. 海伯格（Heiberg）校订的《阿基米德全集，包括欧托基奥斯的注释》（Archimedis Opera Omnia Cum Commentrariis Eutocii），这是标准的本子。译成现代语的常见的有三种：T. L. 希思（Heath）英译注释本：《阿基米德全集，包括阿基米德方法》（The Works of Archimedes with the Method of Archimedes）；P. V. 埃克（Eecke）法译本：《阿基米德全集》（Les oeuvres completes d"Archimede）；迪克斯特惠斯（Dijksterhuis）：《阿基米德全集》（Archimedes），原文为荷兰语，作者为C. 迪克舒恩（Dikshoorn）。
历史上有的数学家勇于开辟新的园地，但缺乏缜密的推理；有的数学家偏重于逻辑证明，但对新领域的开拓却徘徊不公元前。阿基米德则兼有二者之长，他将惊人的独创与严格的论证融为一体，更善于将计算技巧与逻辑分析结合起来。正确地注意理论与实际的联系，常常通过实践直观地洞察到事物的本质，然后运用逻辑方法使经验上升为理论（如浮力问题），再用理论去指导实际工作（如发明抗敌器械）。在严格性和严密性方面，实际超过了15世纪至17世纪的分析学家，他的理论比牛顿、莱布尼茨更加接近柯西、魏尔斯特拉斯的“ε—δ”方法（如阿基米德公理及穷竭法的使用）。只是没有强大的生产需求和适宜的社会环境，未能进一步发展起来。
这位独步千古的科学家，还具有崇高的爱国热忱，在祖国危亡的紧急关头，献出了自己的一切。他的爱国精神和爱科学的精神同样为万世所景仰。
牛顿在颇有名气后说过一段经典的话：“我不知道在别人看来，我是什么样的人；但在我自己看来，我不过就像是一个在海滨玩耍的小孩，为不时发现比寻常更为光滑的一块卵石或比寻常更为美丽的一片贝壳而沾沾自喜，而对于展现在我面前的浩瀚的真理的海洋，却全然没有发现。”
一谈到近代科学开创者牛顿，人们可能认为他小时候一定是个“神童”或“天才”，有着非凡的智力。其实不然，牛顿童年时身体瘦弱，头脑也并不聪明。在家乡读书的时候，很不用功，在班里的学习成绩属于次等。但他的兴趣却是广泛的，游戏的本领也比一般儿童高。
在牛顿的全部科学贡献中，数学成就占有突出的地位。他数学生涯中的第一项创造性成果就是发现了二项式定理。据牛顿本人回忆，他是在1664年和1665年间的冬天，在研读沃利斯博士的《无穷算术》后，试图修改求圆面积的级数时发现这一定理的。
二项式定理又称牛顿二项式定理，是指（a+b）n在n为正整数时的展开式。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。
笛卡尔的解析几何把描述运动的函数关系和几何曲线相对应。牛顿在老师巴罗的指导下，在钻研笛卡尔的解析几何的基础上，找到了新的出路：可以把任意时刻的速度看作是在微小的时间范围里的速度的平均值，这就是一个微小的路程和时间间隔的比值；当这个微小的时间间隔缩小到无穷小的时候，就是这一点的准确值，这就是微分的概念。
求微分相当于求时间和路程关系在某点的切线斜率。一个变速的运动物体在一定时间范围里走过的路程，可以看作是在微小时间间隔里所走路程的和，这就是积分的概念。求积分相当于求时间和速度关系的曲线下面的面积，牛顿从这些基本概念出发，建立了微积分。
微积分的创立是牛顿最卓越的数学成就。牛顿为解决运动问题，才创立了这种和物理概念直接联系的数学理论，牛顿称之为“流数术”。它所处理的一些具体问题，如切线问题、求积问题、瞬时速度问题以及函数的极大和极小值问题等，在牛顿之前已经有人研究了。但牛顿超越了前人，他站在了更高的角度，对以往分散的努力加以综合，将自古希腊以来求解无限小问题的各种技巧统一为两类普通的算法——微分和积分，并确立了这两类运算的互逆关系，从而完成了微积分发明中最关键的一步，为近代科学发展提供了最有效的工具，开辟了数学上的一个新纪元。
牛顿没有及时发表微积分的研究成果，他研究微积分可能比莱布尼茨（Leibniz，1646—1716）早一些，但是莱布尼茨所采取的表达形式更加合理，而且关于微积分的著作出版时间也比牛顿早。
在争论牛顿和莱布尼茨谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场轩然大波。这种争吵在各自的学生、支持者和数学家中持续了相当长的一段时间，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展整整落后了一百年。
应该说，一门科学的创立绝不是某一个人的成就，它必定是经过许多人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样，是牛顿和莱布尼茨在前人的基础上各自独立地建立起来的。
1707年，牛顿的代数讲义经整理后出版，定名为《普遍算术》。它主要讨论了代数基础及其在解决各类问题中的应用（通过解方程）。书中陈述了代数基本概念与基本运算，用大量实例说明了如何将各类问题化为代数方程，同时对方程的根及其性质进行了深入探讨，引出并得到了方程论方面的丰硕成果。例如，他得出了方程的根与其判别式之间的关系，指出可以利用方程系数确定方程根之幂的和数，即“牛顿幂和公式”。
牛顿对解析几何与综合几何都有贡献。他在1736年出版的《解析几何》中引入了曲率中心，给出密切线圆（或称曲线圆）概念，提出曲率公式及计算曲线的曲率方法。他将自己的许多研究成果总结成专论《三次曲线枚举》，并于1740年发表。此外，他的数学工作还涉及数值分析、概率论和初等数论等众多领域。在牛顿之前，墨子、培根、达·芬奇等人都研究过光学现象。反射定律是人们很早就认识的光学定律之一。近代科学兴起的时候，伽利略靠望远镜发现了“新宇宙”，震惊了世界；荷兰数学家斯涅尔首先发现了光的折射定律；笛卡尔提出了光的微粒说……
反射定律指光射到一个接口时，其入射光线与反射光线成相同角度。
牛顿以及跟他差不多同时代的胡克、惠更斯等人，也像伽利略、笛卡尔等前辈一样，用极大的兴趣和热情对光学进行了研究。1666年，牛顿在家休假期间，偶然机会得到了三棱镜，他用来进行了著名的色散试验。一束太阳光通过三棱镜后，分解成几种颜色的光谱带，牛顿再用一块带狭缝的挡板把其他颜色的光挡住，只让一种颜色的光再通过第二个三棱镜，结果出来的只是同样颜色的光。这样，他就发现了白光是由各种不同颜色的光组成的，这是第一大贡献。
牛顿为了验证这个发现，设法把几种不同的单色光合成白光，并且计算出不同颜色光的折射率，精确地说明了色散现象，揭开了物质的颜谜，原来物质的色彩是不同颜色的光在物体上有不同的反射率和折射率造成的。1672年，牛顿把自己的研究成果发表在《皇家学会哲学杂志》上，这也是他第一次公开发表的论文。
许多人研究光学是为了改进折射望远镜。牛顿由于发现了白光的组成，认为折射望远镜透镜的色散现象是无法消除的（后来有人用具有不同折射率的玻璃组成的透镜消除了色散现象），就设计和制造了反射望远镜。
牛顿不但擅长数学计算，还能够自己动手制造各种试验设备并且进行精细试验。为了制造望远镜，他自己设计了研磨抛光机，试验各种研磨材料。1668年，他制成了第一架反射望远镜样机，这是第二大贡献。1671年，牛顿把经过改进的反射望远镜献给了皇家学会，顿时声名大振，并被选为皇家学会会员。反道运动。牛顿没有回答这个问题。1685年，哈雷登门拜访牛顿时，牛顿已经发现了万有引力定律，即两个物体之间有引力，引力和距离的平方成反比，和两个物体质量的乘积成正比。
当时已经有了地球半径、日地距离等精确的数据可供计算使用。牛顿向哈雷证明地球的引力是使月亮围绕地球运动的向心力，也证明了在太阳引力作用下，行星运动符合开普勒运动三定律。
在哈雷的敦促下，于1686年底，牛顿写成了划时代的伟大著作《自然哲学的数学原理》。一开始由于皇家学会经费不足，出不了这本书，后来靠了哈雷的资助，这部科学史上最伟大的著作之一才能够在1687年出版。
牛顿在这部书中，从力学的基本概念（质量、动量、惯性、力）和基本定律（运动三定律）出发，运用他所发明的微积分这一数学工具，不但从数学上论证了万有引力定律，且把经典力学确立为完整而严密的体系，把天体力学和地面上的物体力学统一起来，实现了物理学史上第一次大的综合。
在科学史上，父子科学家、兄弟科学家并不鲜见。然而，在一个家族跨世纪的几代人中，众多父子兄弟都是科学家的较为罕见。其中，瑞士的伯努利家族非常著名。
伯努利家族3代人中产生了8位科学家，出类拔萃的至少有3位；而在他们一代又一代的众多子孙中，至少有一半相继成为杰出人物。伯努利家族的后裔有不少于120位被人们系统地追溯过，他们在数学、科学、技术、工程乃至法律、管理、文学、艺术等方面享有名望，有的甚至声名显赫。最不可思议的是这个家族中有两代人，他们中大多数的数学家，并非有意选择数学为职业，却忘情地沉溺于数学之中。
老尼古拉·伯努利
老尼古拉·伯努利（Nicolaus Bernoulli，1623—1708）生于巴塞尔，受过良好教育，曾在当地政府和司法部门任高级职务。他有3个有成就的儿子——其中长子雅各布（Jocob，1654—1705）和第三个儿子约翰（Johann，1667—1748）成为著名的数学家，第二个儿子小尼古拉（NicolausI，1662—1716）在成为彼得堡科学院数学界的一员之前，是伯尔尼的第一个法律学教授。
雅各布·伯努利
1654年12月27日，雅各布·伯努利生于巴塞尔，毕业于巴塞尔大学，17岁时获艺术硕士学位。这里的艺术旨在“自由艺术”，包括算术、几何学、天文学、数理音乐和文法、修辞、雄辩术共7大门类。遵照父亲的愿望，他于22岁时取得了神学硕士学位。然而，他也违背父亲的意愿，自学了数学和天文学。1676年，他到日内瓦当家庭教师。从1677年起，他开始在那里写内容丰富的《沉思录》。
1678年和1681年，雅各布·伯努利两次外出旅行学习，到过法国、荷兰、英国和德国，他接触和交往了许德、玻意耳、胡克、惠更斯等科学家，写了关于彗星理论（1682）、重力理论（1683）方面的科技文章。1687年，雅各布在《教师学报》上发表数学论文《用两相互垂直的直线将三角形的面积四等分的方法》，同年，成为巴塞尔大学的数学教授，直至1705年8月16日逝世。
1699年，雅各布当选为巴黎科学院外籍院士；1701年被柏林科学协会（后为柏林科学院）接纳为会员。许多数学成果与雅各布的名字相联系，例如悬链线问题（1690），曲率半径公式（1694），伯努利双纽线（1694），伯努利微分方程（1695），等周问题（1700）等。
雅各布对数学最重大的贡献是在概率论研究方面。他从1685年起发表关于游戏中输赢次数问题的论文，后来写成巨著《猜度术》，这本书在他死后8年，即1713年才得以出版。
雅各布最为人们津津乐道的逸事之一，是他醉心于研究对数螺线，这项研究从1691年就开始了。他发现，对数螺线经过各种变换后仍然是对数螺线，如它的渐屈线和渐伸线是对数螺线，自极点至切线的垂足的轨迹，以极点为发光点经对数螺线反射后得到的反射线，以及与所有这些反射线相切的曲线（回光线）都是对数螺线。他惊叹这种曲线的神奇，并在遗嘱里要求后人将对数螺线刻在自己的墓碑上，并附以颂词“纵然变化，依然故我”，用以表达对对数螺线的热爱。
约翰·伯努利
雅各布·伯努利的弟弟约翰·伯努利比他小13岁，1667年8月6日生于巴塞尔，1748年1月1日卒于巴塞尔，享年81岁。
约翰于18岁时就获得了巴塞尔大学艺术硕士学位，这点同他的哥哥雅各布一样。他们的父亲老尼古拉要大儿子雅各布学法律，要小儿子约翰从事家庭管理事务。但约翰在雅各布的带领下进行反抗，去学习医学和古典文学。
约翰于1690年获医学硕士学位，1694年又获得博士学位。但他发现他骨子里的兴趣是数学。他一直向雅各布学习数学，并颇有造诣。
1695年，28岁的约翰取得了他的第一个学术职位——荷兰格罗宁根大学数学教授。10年后的1705年，约翰接替去世的雅各布任巴塞尔大学数学教授。同他的哥哥一样，他也当选为巴黎科学院外籍院士和柏林科学协会会员。1712年、1724年和1725年，他还分别当选为英国皇家学会、意大利波伦亚科学院和彼得堡科学院的外籍院士。
约翰的数学成果比雅各布还要多，例如解决悬链线问题（1691），提出洛必达法则（1694），最速降线（1696）和测地线问题（1697），给出求积分的变量替换法（1699），研究弦振动问题（1727），出版《积分学教程》（1742）等。
约翰与他同时代的110位学者有通信联系，进行学术讨论的信件约有2500封，其中许多已成为珍贵的科学史文献，例如同他的哥哥雅各布以及莱布尼茨、惠更斯等人关于悬链线、最速降线（即旋轮线）和等周问题的通信讨论，虽然相互争论不断，特别是约翰和雅各布互相指责过于尖刻，这导致兄弟之间时常造成不快，但争论无疑会促进科学的发展，如最速降线问题就导致了变分法的诞生。
约翰的另一大功绩是培养了一大批出色的数学家，其中包括18世纪最著名的数学家欧拉、瑞士数学家克莱姆、法国数学家洛必达，以及他自己的儿子丹尼尔和侄子尼古拉二世等。
约翰·伯努利想迫使他的第二个儿子丹尼尔去经商，但丹尼尔在不由自主地陷进数学之前，曾宁可选择医学并成为医生。
丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli，1700—1782），于1700年2月8日生于荷兰格罗宁根，1782年3月17日卒于瑞士巴塞尔。他1716年16岁时获艺术硕士学位，1721年又获医学博士学位。丹尼尔受父兄影响，一直很喜欢数学。
1724年，他在威尼斯旅途中发表《数学练习》，引起学术界关注，并被邀请到圣彼得堡科学院工作。同年，他还用变量分离法解决了微分方程中的里卡提方程。
1725年，25岁的丹尼尔受聘为圣彼得堡的数学教授。1727年，20岁的欧拉（后来人们将欧拉同阿基米德、牛顿、高斯并列为数学史上的“四杰”）来到圣彼得堡成为丹尼尔的助手。然而，丹尼尔不习惯在圣彼得堡生活，所以8年以后的1733年，他找到机会返回巴塞尔，终于在那儿成为解剖学和植物学教授，最后又成为物理学教授。
1734年，丹尼尔荣获巴黎科学院奖金，后来又10次获得该奖金，能与丹尼尔媲美的只有大数学家欧拉。丹尼尔和欧拉保持了近40年的学术通信，在科学史上留下一段佳话。
在伯努利家族中，丹尼尔是涉及科学领域较多的人。他出版了经典著作《流体动力学》，研究弹性弦的横向振动问题（1741—1743），提出声音在空气中的传播规律（1762）。他的论著还涉及天文学（1734）、地球引力（1728）、湖汐（1740）、磁学（1743、1746）、振动理论（1747）和船体航行的稳定（1753、1757）等。丹尼尔的博学使他成为伯努利家族的代表。
丹尼尔于1747年当选为柏林科学院院士，1748年当选巴黎科学院院士，1750年当选英国皇家学会会员。他一生获得过多项荣誉称号。
著名的伯努利家族曾有许多传奇和轶事，对于这样一个既有科学天赋然而性格又比较独立的家族来说，这似乎是很自然的事情。一个关于丹尼尔的故事是这样的：有一次在旅途中，年轻的丹尼尔同一个风趣的陌生人闲谈，他谦虚地自我介绍道：“我是丹尼尔·伯努利。”陌生人立即带着讥讽的神情回答道：“那我就是伊萨克·牛顿。”
拉格朗日（Lagrange，1736—1813），1736年1月25日生于意大利都灵，1813年4月10日卒于巴黎。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。
拉格朗日的父亲是法国陆军骑兵里的一名军官，后由于经商破产，家道中落。据拉格朗日本人回忆，如果幼年时家境富裕，他也就不会做数学研究了，因为父亲一心想把他培养成为一名律师，但拉格朗日个人却对法律毫无兴趣。
到了青年时代，在数学家雷维里的教导下，拉格朗日喜爱上了几何学。17岁时，他读了英国天文学家哈雷的一篇介绍牛顿微积分成就的短文《论分析方法的优点》后，感觉到“分析才是自己最热爱的学科”，从此他迷上了数学分析，开始专攻当时迅速发展的数学分析。
18岁时，拉格朗日用意大利语写了第一篇论文，是用牛顿二项式定理处理两函数乘积的高阶微商。接着，他又将论文用拉丁语写成寄给了当时在柏林科学院任职的数学家欧拉。不久后，他获知这一成果早在半个世纪前就被莱布尼茨取得了。不过，这个并不幸运的开端并未使拉格朗日灰心，相反，更坚定了他投身数学分析领域的信心。
1755年拉格朗日19岁时，在探讨数学难题“等周问题”的过程中，他以欧拉的思路和结果为依据，用纯分析的方法求变分极值。第一篇论文《极大和极小的方法研究》，发展了欧拉所开创的变分法，为变分法奠定了理论基础。变分法的创立，使拉格朗日在都灵声名大振，并使他在19岁时就当上了都灵皇家炮兵学校的教授，成为当时欧洲公认的第一流数学家。1756年，受欧拉的举荐，拉格朗日被任命为普鲁士科学院通讯院士。
1764年，法国科学院悬赏征文，要求用万有引力解释月球天平动问题，拉格朗日对此进行的研究获奖。接着又成功地运用微分方程理论和近似解法研究了科学院提出的一个复杂的六体问题（木星的四个卫星的运动问题），为此又一次于1766年获奖。
天平动又称天秤动，是指天文学中，从卫星环绕的天体上观察所见到的，真实或视觉上非常缓慢的周期性振荡。
1766年，德国的腓特烈大帝向拉格朗日发出邀请时说，在“欧洲最大的主”的宫廷中应有“欧洲最大的数学家”。于是他应邀前往柏林，任普鲁士科学院数学部主任，居住达20年之久，开始了他一生科学研究的鼎盛时期。在此期间，他完成了《分析力学》一书，这是牛顿之后的一部重要的经典力学著作。书中运用变分原理和分析的方法，建立起完整和谐的力学体系，使力学分析化。他在序言中宣称：力学已经成为分析的一个分支。
1783年，拉格朗日的故乡建立了“都灵科学院”，他被任命为名誉院长。1786年腓特烈大帝去世以后，他接受了当时的法国国王路易十六的邀请，离开柏林，定居巴黎，直至去世。
这期间他参加了巴黎科学院成立的研究法国度量衡统一问题的委员会，并出任法国米制委员会主任。1799年，法国完成统一度量衡工作，制定了被世界公认的长度、面积、体积、质量的单位，拉格朗日为此付出了巨大的努力。
1791年，拉格朗日被选为英国皇家学会会员，又先后在巴黎高等师范学院和巴黎综合工科学校任数学教授。1795年法国最高学术机构——法兰西研究院建立后，拉格朗日被选为科学院数理委员会主席。此后，他才重新进行研究工作，编写了一批重要著作：《论任意阶数值方程的解法》《解析函数论》和《函数计算讲义》，总结了那一时期的特别是他自己的一系列研究工作。
1813年4月3日，拿破仑授予拉格朗日帝国大十字勋章，但此时的拉格朗日已卧床不起。4月10日早晨，拉格朗日逝世。
欧拉（L.Euler，1707—1783），瑞士数学家，生于瑞士的巴塞尔，卒于彼得堡。
父亲保罗·欧拉是位牧师，喜欢数学，所以欧拉从小就受到这方面的熏陶。但父亲却执意让他攻读神学，以便将来接他的班。
幸运的是，欧拉并没有走父亲为他安排的路。父亲曾在巴塞尔大学上过学，与当时著名的数学家约翰·伯努利及雅各布·伯努利有几分情谊。由于这种关系，欧拉结识了约翰的两个儿子：擅长数学的小尼古拉及丹尼尔（这二人后来都成为数学家），他俩经常给小欧拉讲生动的数学故事和有趣的数学知识，这些都使欧拉受益匪浅。
12岁的欧拉回家后无事，他就帮助爸爸放羊，成了一个牧童。他一边放羊，一边读书。他读的书中，有不少是数学书。欧拉爸爸养的羊渐渐增多了，达到了100只。原来的羊圈小了，于是爸爸决定建造一个新的羊圈。欧拉用尺量出了一块长方形的土地，长40米，宽15米，他一算，面积正好是600平方米，平均每一头羊占地6平方米。正打算动工的时候，他发现他的材料只够围100米的篱笆，不够用。若要围成长40米，宽15米的羊圈，其周长将是110米（15+15+40+40=110）。父亲感到很为难，若要按原计划建造，就要再添10米长的材料；要是缩小面积，每头羊的面积就会小于6平方米。
小欧拉却对父亲说，不用缩小羊圈，也不用担心每头羊的领地会小于原来的计划，他有办法。父亲不相信小欧拉会有办法，听了没有理他。小欧拉急了，大声说：“只要稍稍移动一下羊圈的桩子就行了。”
父亲听了直摇头，心想：“世界上哪有这样便宜的事情？”但是，小欧拉却坚持说，他一定能两全其美。终于，父亲同意让儿子试试看。
小欧拉见父亲同意了，站起身来，跑到准备动工的羊圈旁。他以一个木桩为中心，将原来的40米边长截短，缩短到25米。父亲着急了，说：“那怎么成呢？那怎么成呢？这个羊圈太小了，太小了。”小欧拉也不回答，跑到另一条边上，将原来15米的边长延长，又增加了10米，变成了25米。经这样一改，原来计划中的羊圈变成了一个25米边长的正方形。然后，小欧拉很自信地对爸爸说：“现在，篱笆也够了，面积也够了。”
父亲照着小欧拉设计的羊圈扎上了篱笆，100米长的篱笆真的够了，不多不少，全部用光。面积也足够了，而且还稍稍大了一些。父亲心里非常高兴，孩子这么会动脑筋，将来一定大有出息。
父亲感到，让这么聪明的孩子放羊实在是太可惜了。于是，他想办法让小欧拉认识了大数学家约翰·伯努利。通过这位数学家的推荐，1720年，小欧拉成了巴塞尔大学的大学生。这一年，小欧拉13岁，是这所大学最年轻的大学生。
约翰精心培育着聪明伶俐的欧拉，当他发现课堂上的知识已满足不了欧拉的求知欲时，就决定每周六下午单独给他辅导、答疑和授课。约翰的心血没有白费，在他的严格训练下，欧拉终于成长起来——他17岁的时候，成为巴塞尔有史以来的第一个年轻的硕士，并成为约翰的助手。在约翰的指导下，欧拉从一开始就选择通过解决实际问题进行数学研究的道路。1726年，19岁的欧拉由于撰写了《论桅杆配置的船舶问题》获得巴黎科学院的资金。这标志着欧拉的羽毛已丰满，从此可以展翅飞翔。
欧拉的成长与他这段经历是分不开的。当然，欧拉的成才还有另一个重要的因素，那就是他惊人的记忆力。他能背诵前一百个质数的前十次幂，能背诵罗马诗人维吉尔（Virgil）的史诗Aeneil，能背诵全部的数学公式；直至晚年，他还能复述年轻时所写下的笔记的全部内容；甚至高等数学的计算他可以用心算来完成。
尽管欧拉的天赋很高，但如果没有约翰的教育，他也很可能不会成为今天的欧拉。因为约翰·伯努利有非常丰富的阅历和对数学发展状况的深刻了解，所以能给欧拉以重要的指点，使欧拉一开始就学习那些虽然难学却十分必要的书，少走了不少弯路。这段历史对欧拉的影响极大，所以欧拉成为大科学家之后仍不忘记培育新人，这主要体现在编写教科书和直接培养有才华的数学工作者，其中包括后来成为大数学家的拉格朗日（J.L.Lagrange，1736—1813）。
欧拉本人虽不是教师，但他对教学的影响超过任何人。身为世界上第一流的学者、教授，肩负着解决高深课题的重担，却能无视“名流”的非议，热心于数学的普及工作。他编写的《无穷小分析引论》《微分法》和《积分法》产生了深远的影响。有的学者认为，自从1784年以后，初等微积分和高等微积分教科书基本上都抄袭欧拉的书，或者抄袭那些抄袭欧拉的书。欧拉在这方面与其他数学家如高斯、牛顿等都不同，他们所写的书一是数量少，二是艰涩难明，别人很难读懂，而欧拉的文字轻松易懂，堪称这方面的典范。他从来不压缩字句，总是津津有味地把他那丰富的思想和广泛的兴趣写得非常有趣。他用德文、俄文、英文发表过大量的通俗文章，还编写过大量中小学教科书。他编写的初等代数和算术的教科书考虑细致，叙述有条有理。他用许多新思想的叙述方法，使得这些书既严密又易于理解。欧拉最先把对数定义为乘方的逆运算，并且最先发现了对数是无穷多值的。他证明了任一非零实数R有无穷多个对数。欧拉使三角学成为一门系统的科学，他首先用比值来给出三角函数的定义，而在他以前是一直以线段的长作为定义的。欧拉的定义使三角学跳出只研究三角学这个圈子，他对整个三角学做了分析性的研究。在这以前，每个公式仅从图中推出，大部分以叙述表达。
这时欧拉的科学研究工作已经是硕果累累，思想也已经成熟。除了一些还需继续研究的专题外，他希望能在晚年对过去的成就做系统的总结，出版几部高质量的著作。然而，厄运已悄悄向他袭来。由于俄罗斯气候严寒以及工作的劳累，欧拉的左眼又失明了（在此之前他的右眼已近乎失明），使他从此陷入伸手不见五指的黑暗之中。但欧拉是坚强的，他用口授、别人记录的方法坚持写作。他先集中精力撰写了《微积分原理》一书。在这部三卷本巨著中，欧拉系统地阐述了微积分发明以来的所有积分学的成就，其中充满了精辟的见解。1768年，《积分学原理》第一卷在圣彼得堡出版，直到1770年，第三卷出版。同年，他又口述写成《代数学完整引论》，有俄文、德文、法文版，成为欧洲几代人的教科书。
正当欧拉在与黑暗搏斗时，厄运又一次向他袭来。1771年，圣彼得堡发生了一场大火，殃及欧拉的住宅，把欧拉包围在大火中。在这危急的时刻，是一位仆人冒着生命危险把欧拉从大火中背出来。欧拉虽然幸免于难，可他的藏书及大量的研究成果都化为灰烬。但是种种磨难，并没有把欧拉搞垮。大火以后他立即投入到新的创作之中。在资料被焚又双目失明的情况下，他完全凭着坚强的意志和惊人的毅力，回忆所做过的研究。欧拉的记忆力实属罕见，他能够完整地背诵出几十年前的笔记内容，数学公式当然更背诵如流。欧拉总是把推理过程想得很细，然后口授，由他的长子记录。他用这种方法发表了论文400多篇以及多部专著，这几乎占他全部著作的半数以上。1774年，他把自己多年来研究变分问题所取得的成果集中发表在《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的技巧》中，从而创立了一个新的分支变分法。
另外，欧拉对天文学中的“三体问题”的月球运动及摄运问题进行了研究。后来，他解决了牛顿没有解决的月球运动问题，首创了月球绕地球运动的精确理论。为了更好地进行天文观测，他研究了光通过各种介质的现象和有关的分色效应，提出了复杂的物镜原理，发表过有关光学仪器的专著，对望远镜和显微镜的设计计算理论作出过开创性的贡献，并于1771年发表了总结性著作《屈光学》。
欧拉从19岁开始写作，直到逝世，留下了浩如烟海的论文、著作，甚至在他死后，他留下的许多手稿还丰富了此后47年的圣彼得堡科学院学报的内容。就科研成果方面来说，欧拉是数学史上或者说是自然科学史上首屈一指的。
作为这样一位科学巨人，在生活中他并不是一个呆板的人。他性情温和，性格开朗，也喜欢交际。欧拉结过两次婚，有13个孩子。他热爱家庭生活，常常和孩子们一起做科学游戏，给他们讲故事。
欧拉旺盛的精力和钻研精神一直持续到生命的最后一刻。1783年9月18日下午，欧拉一边和小孙女逗着玩，一边思考着计算天王星的轨迹。突然，他从椅子上滑下来，嘴里轻声说：“我死了。”一位科学巨匠就这样停止了生命。
历史上，能跟欧拉相比的人的确不多，有的历史学家把欧拉和阿基米德、牛顿、高斯列为有史以来贡献最大的四位数学家。依据是他们都有一个共同点——在创建纯粹理论的同时，还应用这些数学工具去解决天文、物理和力学等方面的大量的实际问题。他们的工作是跨学科的，他们不断地从实践中汲取丰富的营养，但又不满足于具体问题的解决，而是把宇宙看作是一个有机的整体，力图揭示它的奥秘和内在规律。
由于欧拉出色的工作，后世的著名数学家都极度推崇欧拉。大数学家拉普拉斯（P.S.M.de Laplace，1749—1827）曾说过：“读读欧拉，这是我们所有人的老师。”
拉普拉斯（Pierre Simon Laplace，1749—1827），法国数学家、天文学家，法国科学院院士。1749年，3月23日拉普拉斯生于法国西北部卡尔瓦多斯的博蒙昂诺日，1827年3月5日卒于巴黎，曾任巴黎军事学院数学教授。他于1795年任巴黎综合工科学校教授，后又在高等师范学校任教授；1816年被选为法兰西学院院士；1817年任该院院长。
拉普拉斯是天体力学的主要奠基人，是天体演化学的创立者之一，是分析概率论的创始人，是应用数学的先驱。拉普拉斯用数学方法证明了行星的轨道大小只有周期性变化，这就是著名的拉普拉斯定理。他发表的天文学、数学和物理学论文有270多篇，专著合计有4000多页。其中最有代表性的专著有《天体力学》《宇宙体系论》和《概率分析理论》。1796年，他发表的《宇宙体系论》，因研究太阳系稳定性的动力学问题被誉为法国的牛顿和天体力学之父。
拉普拉斯从青年时期就显示出卓越的数学才能，18岁时离家前往巴黎，决定从事数学工作。于是他带着一封推荐信去找当时法国的著名学者达朗贝尔，但被拒绝接见。拉普拉斯就给达朗贝尔寄去一篇力学方面的论文。这篇论文出色至极，所以达朗贝尔忽然非常高兴地要当他的教父，并将拉普拉斯推荐到军事学校教书。此后，他同拉瓦锡在一起工作了一个时期，他们测定了许多物质的比热。1780年，他们两人证明了将一种化合物分解为其组成元素所需的热量就等于这些元素形成该化合物时所放出的热量，这可以看作是热化学的开端。而且，它也是继布拉克关于潜热的研究工作之后向能量守恒定律迈进的又一个里程碑，60年后，这个定律终于诞生了。
拉普拉斯的注意力主要集中在天体力学的研究上面，尤其是太阳系天体摄动，以及太阳系的普遍稳定性问题。他把牛顿的万有引力定律应用到整个太阳系，在1773年解决了一个当时著名的难题：解释木星轨道为什么在不断地收缩，而同时土星的轨道又在不断地膨胀。拉普拉斯用数学方法证明行星平均运动的不变性，即行星的轨道大小只有周期性变化，并证明为偏心率和倾角的3次幂，这就是著名的拉普拉斯定理。从此以后，他开始了太阳系稳定性问题的研究。同年，他成为法国科学院副院士。
1784年到1785年，他求得天体对其外任一质点的引力分量可以用一个势函数来表示，这个势函数满足一个偏微分方程，即著名的拉普拉斯方程。1785年，他被选为科学院院士。1786年，他证明行星轨道的偏心率和倾角总保持很小和恒定，能自动调整，即摄动效应是守恒和周期性的，既不会积累也不会消解。1787年，他发现月球的加速度同地球轨道的偏心率有关，从理论上解决了太阳系动态中观测到的最后一个反常问题。1796年，他的著作《宇宙体系论》问世，书中提出了对后来有重大影响的关于行星起源的星云假说。
拉普拉斯长期从事大行星运动理论和月球运动理论方面的研究，在总结前人研究的基础上取得了大量重要成果。他的这些成果被集中在1799年到1825年出版的5卷16册巨著《天体力学》之中，这部著作第一次提出“天体力学”这一名词，是经典天体力学的代表作。这一时期席卷法国的政治变动，包括拿破仑的兴起和衰落，都没有打断他的工作，尽管他是个曾参与过政治的人，是他的威望以及他将数学应用于军事问题的才能保护了他。拉普拉斯于1812年发表了重要的《概率分析理论》一书。1799年，他还担任过法国经度局局长，并在拿破仑政府中担任过6个星期的内政部长。《宇宙系统论》是拉普拉斯另一部名垂千古的杰作。在这部书中，他独立于康德，提出了第一个科学的太阳系起源理论——星云说。康德的星云说是从哲学角度提出的，而拉普拉斯则从数学、力学角度充实了星云说。因此，人们常常把他们两人的星云说称为“康德—拉普拉斯星云说”。拉普拉斯在物理学方面也有重要贡献，以他的名字命名的拉普拉斯变换和拉普拉斯方程，在科学技术的各个领域有着广泛的应用。
高斯（C.F.Gauss，1777—1855），是德国数学家、物理学家和天文学家，出生于德国布伦兹维克的一个贫苦家庭。父亲格尔恰尔德·迪德里赫先后当过护堤工、泥瓦匠和园丁，第一个妻子和他生活了10多年后因病去世，没有为他留下孩子。迪德里赫后来娶了罗捷雅，第二年他们的孩子高斯出生了，这是他们唯一的孩子。父亲对高斯要求极为严厉，甚至有些过分，常常喜欢凭自己的经验为年幼的高斯规划人生。高斯尊重他的父亲，并且秉承了其父诚实、谨慎的性格。1806年，迪德里赫逝世，此时高斯已经有了许多划时代的成就。
高斯的成长主要是得益于母亲和舅舅。高斯的外祖父是一位石匠，30岁那年死于肺结核，留下了两个孩子：高斯的母亲罗捷雅，舅舅弗利德里希。弗利德里希富有智慧，为人热情而又聪明能干，投身于纺织贸易颇有成就。他发现姐姐的儿子聪明伶俐，因此就把一部分精力花在这位小天才身上，用生动活泼的方式开发高斯的智力。若干年后，已成年并成就显赫的高斯回想起舅舅为他所做的一切，非常感叹。他想到舅舅对数学作出的贡献，无不伤感地说，舅舅的去世使“我们失去了一位天才”。正是由于弗利德里希慧眼识英才，经常劝导姐夫让孩子向学者方面发展，才使得高斯没有成为园丁或者泥瓦匠。
在数学史上，很少有人像高斯一样很幸运地有一位鼎力支持他成才的母亲。罗捷雅直到34岁才出嫁，生下高斯时已有35岁了。她性格坚强、聪明贤惠、富有幽默感。高斯一生下来，就对一切现象和事物十分好奇，而且决心弄个水落石出，这已经超出了一个孩子能被许可的范围。当丈夫为此训斥孩子时，她总是支持高斯，坚决反对顽固的丈夫想把儿子变得跟他一样无知。
罗捷雅真诚地希望儿子能干出一番伟大的事业，因此对高斯的才华极为珍视。然而，她也不敢轻易地让儿子投入当时尚不能养家糊口的数学研究中。在高斯19岁那年，尽管他已有了许多伟大的数学成就，但他的母亲仍向数学界的朋友W.波尔约（W.Bolyai，非欧几何创立者之一，J.波尔约之父）问道：“高斯将来会有出息吗？”W.波尔约说她的儿子将是“欧洲最伟大的数学家”，为此她激动得热泪盈眶。
7岁那年，高斯入学了，头两年表现平常。1787年高斯10岁，他进入了学习数学的班级，这是一个首次创办的班，孩子们在这之前都没有听说过算术这样一门课程。数学教师是布特纳（Buttner），他对高斯的成长也起了一定作用。全世界广为流传的一则故事说，高斯10岁时算出布特纳给学生们出的将1到100的所有整数加起来的算术题，布特纳刚叙述完题目，高斯就算出了正确答案。不过，这很可能是一个不真实的传说。据对高斯素有研究的著名数学史家贝尔（E.T.Bell）考证，布特纳当时给孩子们出的是一道更难的加法题：81297＋81495＋81693＋…＋100899。当然，这也是一个等差数列的求和问题（公差为198，项数为100）。当布特纳刚一写完时，高斯也算完并把写有答案的小石板交了上去。E.T.贝尔写道，高斯晚年经常喜欢向人们谈论这件事，说当时只有他写的答案是正确的，而其他的孩子们都错了。不过，高斯没有明确地讲过他是用什么方法那么快就解决了这个问题。数学史家们倾向于认为，高斯当时已掌握了等差数列求和的方法。一位年仅10岁的孩子，能独立发现这一解决数学问题的方法是很不平凡的事。贝尔根据高斯本人晚年的说法叙述的史实，应该是比较可信的。而且，这更能反映高斯从小就注意掌握更本质的数学方法这一特点。
高斯的计算能力——更主要的是他独到的数学方法和非同一般的创造力，这些都使布特纳对他刮目相看。他特意从汉堡买了最好的算术书送给高斯，说：“你已经超过了我，我没有什么东西可以教你了。”接着，高斯与布特纳的助手巴特尔斯（J.M.Bartels）建立了真诚的友谊，直到巴特尔斯逝世。他们一起学习，互相帮助，高斯便由此开始了真正的数学研究。
1788年，11岁的高斯进入了文科学校。他在新的学校里，所有的功课都极好，特别是古典文学、数学尤为突出。经过巴特尔斯等人的引荐，布伦兹维克公爵召见了14岁的高斯。这位朴实、聪明但家境贫寒的孩子赢得了公爵的同情，公爵慷慨地提出愿意做高斯的资助人，让他继续学习。
布伦兹维克公爵在高斯的成才过程中起了举足轻重的作用。不仅如此，这种作用实际上反映了欧洲近代科学发展的一种模式，表明在科学研究社会化以前，私人的资助是科学发展的重要推动因素之一。高斯正处于私人资助科学研究与科学研究社会化的转变时期。
1792年，高斯进入布伦兹维克的卡罗琳学院继续学习。1795年，公爵又为他支付各种费用，送他进入德国著名的格丁根大学，这样就使得高斯得以按照自己的理想，勤奋地学习和开始进行创造性的研究。1799年，高斯完成了博士论文，回到家乡布伦兹维克。虽然他的博士论文顺利通过了，已被授予博士学位，同时获得了讲师职位，但他没能成功地吸引学生，因此只能回老家。正当他为自己的前途、生计担忧而病倒时，又是公爵伸手救援他。公爵为高斯支付了长篇博士论文的印刷费用，还送给他一套公寓，又为他印刷了《算术研究》，使该书得以在1801年问世，同时还负担了高斯的所有生活费用。所有这一切，令高斯十分感动。他在博士论文和《算术研究》中，写下了情真意切的献词：“献给大公，您的仁慈，将我从所有烦恼中解放出来，使我能从事这种独特的研究。”
1806年，公爵在抵抗拿破仑统帅的法军时不幸阵亡，这给高斯以沉重打击。他悲痛欲绝，长时间对法国人有一种深深的敌意。公爵的去世带来经济上的拮据，自己的国家处于法军奴役下的不幸以及第一个妻子的逝世，这一切使得高斯有些心灰意冷。但他是位刚强的男子汉，从不向他人透露自己的窘况，也不让朋友安慰自己的不幸，人们只有在19世纪整理他的未公布于众的数学手稿时才得知他那时的心态。在一篇讨论椭圆函数的手稿中，突然插入了一段细微的铅笔字：“对我来说，死去也比这样的生活更好受些。”
慷慨、仁慈的资助人去世了，因此高斯必须找一份合适的工作，以维持一家人的生计。由于高斯在天文学、数学方面的工作杰出，高斯的名声从1802年起就已开始传遍欧洲。彼得堡科学院不断暗示他，自从1783年欧拉去世后，欧拉在彼得堡科学院的位置一直在等待着像高斯这样的天才。公爵在世时坚决劝阻高斯去俄国，他甚至愿意给高斯增加薪金，为他建立天文台。现在，高斯又在他的生活中面临着新的选择。
为了不使德国失去最伟大的天才，德国著名学者洪堡（B.A.VON Humboldt）联合其他学者和政界人物，为高斯争取到了享有特权的格丁根大学数学和天文学教授，以及格丁根天文台台长的职位。1807年，高斯赴格丁根就职，全家迁居于此。从这时起，除了一次到柏林去参加科学会议以外，他一直住在格丁根。洪堡等人的努力，不仅使得高斯一家人有了舒适的生活环境，高斯本人也可以充分发挥其天才能力，这为格丁根数学学派的创立、德国成为世界科学中心和数学中心创造了条件。同时，这也标志着科学研究社会化的一个良好开端。1877年，丹麦政府任命他为科学顾问，这一年，德国汉诺威政府也聘请他担任政府科学顾问。
高斯的学术地位，历来为人们推崇得很高。他有“数学王子”“数学家之王”的美称，被认为是人类有史以来“最伟大的三位（或四位，即阿基米德、牛顿、高斯或加上欧拉）数学家之一”，人们还称赞高斯是“人类的骄傲”。天才、高产、创造力不衰……人类智力领域的几乎所有褒奖之词，对于高斯都不过分。高斯的研究遍及纯粹数学和应用数学的各个领域，并且开辟了许多新的数学领域，从最抽象的代数数论到内蕴几何学，都留下了他的足迹。从研究风格、方法乃至所取得的具体成就方面，他都是18至19世纪之交的中坚人物。如果我们把18世纪的数学家想象为高山峻岭，那么最后一座令人肃然起敬的巅峰就是高斯；如果把19世纪的数学家想象为一条条江河，那么其源头就是高斯。
虽然数学研究、科学工作在18世纪末仍然没有成为令人羡慕的职业，但高斯依然生逢其时，因为在他快步入而立之年之际，欧洲资本主义的发展，使各国政府都开始重视科学研究。随着拿破仑对法国科学家、科学研究的重视，俄国的沙皇以及欧洲的许多君主也开始对科学家、科学研究刮目相看，科学研究的社会化进程不断加快，科学的地位不断提高。作为当时最伟大的科学家，高斯获得了不少荣誉，许多世界著名的科学泰斗都把高斯当成自己的老师。高斯的一生，是典型的学者的一生。他始终保持着农家的俭朴，使人难以想象他是一位大教授，世界上最伟大的数学家之一。他先后结过两次婚，几个孩子曾使他颇为恼火。不过，这些对他的科学创造影响不太大，而就在他获得崇高声誉之时，一代天骄走完了他的生命旅程。
柯西（Augusin Louis Cauchy，1789—1857），1789年8月21日出生于巴黎。他的父亲路易柯·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治旋涡中一直担任公职。由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位的徒。
他在纯数学和应用数学上的功力是相当深厚的，很多数学的定理和公式也都以他的名字来命名，如“柯西不等式”“柯西积分公式”等。在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人。他一生一共著作了789篇论文和几本书籍，其中有些还是经典之作。不过，并不是他所有的创作质量都很高，因此他还曾被人批评高产而轻率，这点倒是与“数学王子”相反。据说，法国科学院会刊创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以至于科学院要负担很大的印刷费用，超出了科学院的预算。因此，科学院后来规定最长的论文也不能超过四页，所以，柯西较长的论文只能投稿到其他地方。
柯西在幼年时，他的父亲常带领他到法国参议院内的办公室，在那里指导他学习，因此他有机会遇到参议员拉普拉斯和拉格朗日两位大数学家。他们对他的才能十分赏识。拉格朗日认为他将来必定会成为大数学家，但拉格朗日建议柯西的父亲在柯西学好文科前不要让他学数学。
柯西于1802年升入中学。在中学时，他的拉丁文和希腊文取得了优异成绩，多次参加竞赛获奖；数学成绩也深受老师赞扬。他于1805年考入综合工科学校，在那里主要学习数学和力学；1807年考入桥梁公路学校；1810年以优异成绩毕业，前往瑟堡参加海港建设工程。
柯西去瑟堡时携带了拉格朗日的《解析函数论》和拉普拉斯的《天体力学》，后来还陆续收到从巴黎寄出或从当地借得的一些数学书。他在业余时间悉心攻读有关数学各分支的书籍，包括数论到天文学方面。根据拉格朗日的建议，他进行了多面体的研究，并于1811年及1812年向科学院提交了两篇论文，其中的主要成果是：
1.证明了凸正多面体只有五种（面数分别是4，6，8，12，20），星形正多面体只有四种（面数是12的三种，面数是20的一种）。
2.得到了欧拉关于多面体的顶点、面和棱的个数关系式的另一证明并加以推广。
3.证明了各面固定的多面体必然是固定的，从此可导出从未证明过的欧几里得的一个定理。柯西的论文在数学界造成了极大的影响。柯西在瑟堡由于工作劳累生病，于1812年回到巴黎他的父母家中休养。
柯西于1813年在巴黎被任命为运河工程的工程师，他在巴黎休养和担任工程师期间，继续潜心研究数学并且参加学术活动。这一时期他的主要贡献是：
1.研究代换理论，发表了代换理论和群论论文。
2.证明了费马关于多角形数的猜测，即任何正整数是多角形数的和。这一猜测当时已提出了一百多年，经过许多数学家研究，都没有能够解决。
以上两项研究是柯西在瑟堡时开始进行的。
3.用复变函数的积分计算积分，这是复变函数论中柯西积分定理的出发点。
4.研究液体表面波的传播问题，得到流体力学中的一些经典结果，于1815年获得法国科学院数学大奖。
以上突出成果的发表给柯西带来了很高的声誉，他成为当时国际上著名的青年数学家。
1815年，拿破仑政府被推翻，波旁王朝复辟，路易十八当上了法国国王。柯西于1816年先后被任命为法国科学院院士和综合工科学校教授；1821年被任命为巴黎大学力学教授，还曾在法兰西学院授课。这一时期他的主要贡献是：
1.在综合工科学校讲授分析课程，建立了微积分的基础极限理论，还阐明了极限理论。在此以前，微积分和级数的概念是模糊不清的。由于柯西的讲法与传统方式不同，当时学校师生对他提出了许多非议。柯西在这一时期出版的著作有《代数分析教程》《无穷小分析教程概要》和《微积分在几何中应用教程》。这些工作为微积分奠定了基础，促进了数学的发展，成为数学教程的典范。
2.柯西在担任巴黎大学力学教授后，重新研究连续介质力学。在1822年的一篇论文中，他建立了弹性理论的基础。
3.继续研究复平面上的积分及留数计算，并应用有关结果研究数学物理中的偏微分方程等。
他的大量论文分别在法国科学院论文集和他自己编写的期刊《数学习题》上发表。
1830年，法国爆发了推翻波旁王朝的革命，法国国王查理第十世仓皇逃走，奥尔良公爵路易·菲利浦继任法国国王。当时规定在法国担任公职必须宣誓对新法国国王效忠，由于柯西属于拥护波旁王朝的正统派，他拒绝宣誓效忠，并自行离开法国。他先到了瑞士，后于1832年到1833年任意大利都灵大学数学物理教授，并参加当地科学院的学术活动。那时他研究了复变函数的级数展开和微分方程（强级数法），并为此作出重要贡献。
1833年到1838年，柯西先在布拉格，后在戈尔兹担任波旁王朝“王储”波尔多公爵的教师，最后被授予“男爵”封号。在此期间，他的研究工作进行得比较少。
1838年，柯西回到巴黎。由于他没有宣誓对法国国王效忠，则只能参加科学院的学术活动，不能担任教学工作。他在创办不久的法国科学院报刊和他自己编写的期刊———《分析及数学物理习题》上发表了关于复变函数、天体力学、弹性力学等方面的大批重要论文。
1848年，法国又爆发了革命，路易·菲利浦倒台，重新建立了共和国，废除了公职人员对国王效忠的宣誓。柯西于1848年担任了巴黎大学数理天文学教授，由此重新进行他在法国高等学校中断了18年的教学工作。
1852年，拿破仑第三世发动政变，法国从共和国变成了帝国，恢复了公职人员对新政权的效忠宣誓，柯西立即向巴黎大学辞职。后来拿破仑第三世特准免除他和物理学家阿拉果（Arago，1786—1853）的忠诚宣誓。于是柯西得以继续进行教学工作，直到1857年他在巴黎近郊逝世前仍不断参加学术活动，不断发表科学论文。
1857年5月23日，他突然去世，享年68岁。他因为热病去世，临终前，他还与巴黎大主教在说话，他说的最后一句话是：“人总是要死的，但是，他们的功绩永存。”柯西是一位多产的数学家，他的全集从1882年开始出版，到1974年才出齐最后一卷，总计28卷。
1811年1月25日，伽罗瓦（Evariste Galois，1811—1832）出生于巴黎附近的一座小市镇，父亲是本市市长，母亲是当地法官的女儿，她聪明而有教养，是伽罗瓦的启蒙老师。除教授伽罗瓦各种基本知识以外，作为古代文化的热烈爱好者，她还把古希腊的英雄主义、浪漫主义灌输到儿子的幼小心灵中，使得伽罗瓦从小就有强烈的好奇心和求知欲。
12岁那年，他考入当地著名的皇家中学。在老师的眼里，尽管伽罗瓦有“杰出的才能”，但这位体格柔弱的少年却被认为“为人乖僻、古怪，过分多嘴”。他不满意内容贫乏、编排琐碎的教科书，对老师只注重形式和技巧的讲课形式也深感失望。他在后来的一封信中曾大为感叹地写道：“不幸的年轻人要到什么时候才能不整天听讲或死记听到的东西呢？”15岁的伽罗瓦毅然抛开教科书，直接向数学大师的专著求教。著名数学家勒让德尔（Legendre）的经典著作《几何原理》，使他领悟到清晰有力的数学思维的内在美；拉格朗日的《论数值方程解法》和《解析函数论》，使他的思维日趋严谨。接着，他又一口气读完了欧拉与高斯的著作，这些数学大师的著作使他感到充实、自信。
1828年，伽罗瓦17岁，这是他关键的一年，他遇到了数学教师里沙（1795—1849）。里沙不是一个普通的教师，他利用业余时间到巴黎大学听课，使自己的水平跟上时代的步伐，并把新的知识传授给学生们。里沙有很高的才能，好心的朋友们劝他从事著作，他却把全部精力倾注在学生身上。19世纪法国有好几个杰出的数学家，均出自他的门下，这就是对他的最高奖赏。
伽罗瓦在里沙的帮助和鼓励下，在继承前人科学研究成果的基础上，创立了“群”的思想。他写出了第一篇数学论文，寄到法兰西科学院，负责审查这篇论文的是当时法国数学界泰斗——柯西和泊松。柯西是当时法国首屈一指的数学家，他一向是很果断和公正的，但偶然的疏忽却带来了损失：一是对伽罗瓦没有给予足够的重视；二是对伽罗瓦向科学院送交的论文未及时给出评价，以致连手稿也给遗失了。第二年，18岁的伽罗瓦又取得了一些重要成果，再次写成论文寄交科学院。主持审查论文的是当时数学界权威人士、科学院院士——傅里叶（也译作傅立叶）。然而很不凑巧，傅里叶在举行例会的前几天病逝了。人们在傅里叶的遗物中找不到伽罗瓦的数学论文。就这样，伽罗瓦的论文第二次被丢失了。但他并不灰心，又继续研究自己所得的新成果，第三次写成论文，即《关于用根式解方程的可解性条件》。1831年，法兰西科学院第三次审查伽罗瓦的论文，主持这次审查的是科学院院士泊松。总算幸运，这一次论文没有丢失。但论文中用了“置换群”这个崭新的数学概念和方法，以致像泊松那样赫赫有名的数学家一下子也未能领会，伽罗瓦的成果以“不可理解”被草率地否定了。那时科学界对形式和技巧的崇拜远远超过对创造和开拓的追求，当然也就不会承认伽罗瓦工作的价值。
当时，数学新时代的曙光已出现在地平线上，像非欧几何、集合论、群论等科学思想新体系，都是在这个时代孕育的。只有勇敢地面向未来、坚定地追求未来的科学家，才能看到新时代的曙光。无怪乎伽罗瓦在谈到与他同时代的数学家时曾痛切地说：“他们落后了一百年！”直到伽罗瓦死后14年，人们研究了保存在他弟弟那里的数学论文，才认识到这些论文是当代重要的数学著作。伽罗瓦所引入的“群”的概念，已发展成为近代代数的一个新的分支——“群论”，而且在其他数学分支和近代物理、理论化学等学科上都是广泛应用的数学工具。这种理论，甚至对于20世纪结构主义哲学的产生和发展，都发生了巨大影响。因此，伽罗瓦的工作的确是19世纪数学研究领域最突出的成就之一。
伽罗瓦不仅是一个天才的青年数学家，而且也是一位坚定的革命者。他生活在经历了资产阶级大革命后的法国，生长在压制革命、摧残人才的波旁王朝复辟时期。在法国历史上著名的1830年的“七月革命”中，刚考进法国巴黎师范大学的19岁的伽罗瓦，积极参加了反对反动政权的斗争。他两次被捕入狱，他的身体由此受到了严重的摧残。但他在狱中仍坚持写下了两部科学著作，准备获释后发表。他是一个把科学理想和社会理想结合起来，不论在数学王国还是在现实斗争中始终面向未来的不屈斗士。他说：“妨碍我成为科学家的，恰好是我不只是个科学家。”伽罗瓦出狱不久，反动派便设下了一个圈套，迫使他在爱情纠纷的名义下参加“决斗”。1832年5月30日清晨，一个身强力壮的反动军官，在“决斗”的借口下，给了他致命的伤害，而伽罗瓦的却是没有的。在“决斗”的第二天早上，他便与世长辞了。他在临死前曾对自己的一生进行了这样的总结：“永别了，我已经为公共的幸福献出了自己大部分的生命！”
对伽罗瓦死于决斗，科学史学家们常常感到遗憾。普里林在考察维苏威火山时被突然爆发的火山灰掩埋，魏格纳考察格陵兰冰川时于50岁生日丧生，利赫曼为了揭开雷电的奥秘而被引下来的电流击毙……这些死亡，都是为了科学，为了人类的幸福。据说马克思也曾受到过“决斗”的挑战，但马克思对此报以轻蔑的微笑。是的，无论是科学家还是战士，他们的使命和责任，比个人的荣誉和一时的意气冲动更为重要。
也许伽罗瓦是太年轻了，他不被社会了解和尊重，也不够珍惜自己的生命。他内心愤怒的激情的浪涛终于冲破了理智的堤坝，把他吞没了。不论怎么说，伽罗瓦参加“决斗”是犯了一个不可挽回的错误，但他那刻苦钻研、独立思考、不畏权威、勇于创新的精神却永远激励着后来者。
G.F.B.黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826—1866），1826年9月17日生于德国汉诺威的布雷斯塞伦茨，1866年7月20日卒于意大利塞拉斯卡。
黎曼的父亲是路德教牧师，母亲是法官的女儿，他们共有六个孩子（二男四女），黎曼排行第二。由于家庭生活困难，导致多数子女过早死亡，他们的母亲在他们长大成人之前也去世了。
黎曼还是小孩子的时候，他的父亲就把家搬到奎克博尔恩的牧师管区。小黎曼从他父亲那里受到入门教育，从一开始就表现出如饥似渴的学习欲望。他最早的兴趣是在波兰历史方面，5岁时，他就要父亲一遍又一遍地讲述这个英雄国家的悲惨故事。大约6岁时，他开始学算术，他天生的数学才能显露出来了。他不仅解决了所有留给他的问题，而且发明更难的题来捉弄他的兄弟姐妹。10岁时，他跟着一位职业教师学习更高级的算术和几何，而水平很快超过老师，对同一道题，他往往得出更好的解答方法。14岁时，黎曼到汉诺威同他的祖母一起住，进入当地文科中学学习。两年后，他的祖母去世，黎曼又转到吕耐博格的预科中学，他在这里一直学习到19岁。
文科中学校长C.施马尔夫斯（Schmanlfuss）很早就已观察到黎曼的数学才能，曾把自己的藏书借给黎曼，而且允许他不去听数学课。在施马尔夫斯的建议下，黎曼借走A.M.勒让德（Legendre）的《数论》（Essai sur la theorie des nombres），这是一本859页的大四开本的书。6天之后，黎曼归还了这本书。他很快掌握了书中内容，这无疑是黎曼对于素数兴趣的来源。他还通过研究欧拉（Euler）的著作而掌握了微积分及其各个分支。
1845年春，20岁的黎曼在格丁根大学注册为专修语言和神学的学生，他也去听数学及物理课程，如从M.A.斯特恩（Srern）关于方程论和定积分的课，C.F.高斯（Gauss）关于最小二乘法和C.B.哥德施密特（Glodschmidt）关于地磁学的课。1847年春，黎曼转到柏林大学，他从C.雅可比（Jacobi）、P.狄利克雷（Diridlet）、J.施泰纳（Steiner）、G.爱森斯坦（Eisenstein）那里受教，而进入新的数学领域。他向这几位大师学到了许多东西。他从雅可比那里学习高等力学和高等代数，从狄利克雷那里学习数论和分析，从施泰纳那里学习近代几何学，而从只比他大3岁的爱森斯坦那里学习椭圆函数。他钻研了A.L.柯西（Cauchy）等人的著作，得出单复变函数以及柯西—黎曼方程的概念。黎曼在柏林上了两年大学，在1848年政治动乱之际，他参加保王的学生联合会活动，而且16小时轮流值班来保护王宫中惊恐不安的国王。1849年春，他回到格丁根去完成他的数学学业并准备取得博士学位。
他在格丁根大学又念了三个学期，他听哲学课并且非常有兴趣地上W.韦伯（Weber）的实验物理课。他热衷于研究J.F.赫尔巴特（Herbart）的哲学结果，并在1850年得出结论：“能够建立起一套完备的、周密的数学理论，它包括从单个质点的基本定律进而到现实连续充实的空间中我们见到的过程，不管是引力、电磁还是热学的。”这表明黎曼反对物理中“超距”作用理论而赞成场论。1850年秋天，他参加了由韦伯、G.K.J.乌尔利希（Ulrich）、斯特恩、J.B.利斯亭（Listing）建立起的数学物理学讨论班。在这个讨论班上所做的物理实验耗费了时间，耽误了他写博士论文。但是利斯亭的拓扑思想无疑对黎曼有巨大影响。利斯亭在高斯影响下于1848年出版的《拓扑学初步研究》（Vorstudien zur Topologie）是这方面头一部著作。1851年11月初，黎曼在高斯指导下提交了他的博士论文《单复变函数一般理论基础》（Grundlangen fur eine Allgemeine Theorie der Functionen einer Veranderlichen Complexen Grosse），12月10日通过答辩取得博士学位。高斯对他博士论文的评论是：“黎曼先生提交的博士论文提供了可信的证据……文章清楚、简洁，有的地方很漂亮，大多数读者将会喜欢这个更清楚的安排，它不仅符合博士论文所要求的各项标准，而且远远超出了它们。”
拓扑学（Topology）是近代发展起来的一个数学分支，用来研究各种“空间”在连续性的变化下不变的性质。到20世纪，拓扑学发展成为数学中一个非常重要的领域。
取得博士学位后，黎曼没有积极争取格丁根大学教授助手的空缺，而是进一步去取得讲师资格，为此，他计划提交一篇关于三角级数（傅里叶级数）的论文。1852年的秋天，狄利克雷来到格丁根度假，使黎曼受益匪浅。他就自己的论文征求狄利克雷的意见，后来写道：“狄利克雷和我在一起谈了两个小时，他把他的笔记给了我，而这正是我准备就职论文所需要的，否则就要在图书馆花费大量时间进行艰苦的研究才能得到这些。他还和我一起诵读我的论文，对我非常友好。考虑到我们之间地位的巨大差异，对此我是根本不敢想象的，我希望他以后还能记得我。”1853年，黎曼又热衷于考虑数学物理的问题，这耽误了论文的写作。一直到年底，他才完成了就职论文。
在他能够取得他所谋求的没有薪水的讲师职位之前，他还必须通过一次试验性的演讲。他给系里提供了三个题目，他原本希望他们选择前面两个题目中的一个，因为这两个题目他已经有所准备，但是他无意中提出了第三个题目——几何学基础。这个题目是高斯已经考虑了六年之久的，而且他也没有什么准备。但高斯却指定了第三个题目。黎曼在1854年的讲演《论作为几何基础的假设》（Uber die Hypothesen，welche der Geometrie zu Grunde liegen）不仅是数学史上的一篇杰作，而且在表述上也是典范。高斯特别兴奋，他感到黎曼的结果远远超过了他的预料。在从系里的讲演会回来时，高斯向威廉、韦伯表示他对黎曼提出的思想的高度评价，在谈话时所带有的热情对高斯本人来说是十分罕见的。
1854年夏，黎曼取得讲师资格后，回奎克博恩家乡稍事休息，9月份又回到了格丁根。在德国自然科学家及医师协会第31届年会上，他发表了一篇仓促准备的关于电在非导体中分布规模的讲演，同时继续他关于电的数学理论的研究，并准备一篇关于诺比里色环的论文，这是他最早发表的两篇论文。他第一次开课的题目是“偏微分方程及其在物理学上的应用”，有8个学生来听他的课，使他非常高兴。他也逐渐改变害羞的毛病，能够更好地讲课。
去世之前，黎曼又得到一系列荣誉。1866年3月他被选为柏林科学院国外院士（因当时德国尚未统一，柏林科学院属于普鲁士王国，而黎曼所在的格丁根属汉诺威王国），同时被选为巴黎科学院通讯院士；1866年7月14日被选为英国皇家学会国外会员。黎曼是对现代数学影响最大的数学家之一，我们从他当时的数学水平来看，他作为伟大的分析学家，其成就可以分成八个领域来论述。前四个领域是关于复分析方面的，他首次有意识地将实域过渡到复域，开创了复变函数论、代数函数论、常微分方程解析理论及解析数论诸方向；后四个领域主要涉及实函分析，在积分理论、三角级数论、微分几何学、数学物理方程等方面取得重大突破。重要的是一个多世纪之前的成就却直接同现代数学中的拓扑方法、一般流形概念、联系拓扑与分析的黎曼—洛赫定理、代数几何学特别是阿贝尔簇以及参模等紧密相连，他的空间观念及黎曼几何更预示着广义相对论，正是他触发了现代数学的革命性变革。
康托尔，（Cantor，1845—1918），1845年3月3日生于俄罗斯圣彼得堡，1918年1月6日卒于德国萨克森的哈雷。
康托尔的祖父母曾居住在丹麦的哥本哈根，1807年英国炮击哥本哈根时，他们家几乎丧失了一切，随后迁往俄罗斯的圣彼得堡，那里有康托尔祖母的亲戚。康托尔的父亲乔治·魏特曼·康托尔（George Woldmar Cantor）年轻时，曾在圣彼得堡经商。后来，在汉堡、哥本哈根、伦敦甚至远及纽约从事国际买卖。1839年由于某种原因破产了。但不久，他又转到股票交易上，并很快取得了成功。1842年4月21日，魏特曼与M.A.鲍约姆（Bohm）结婚。鲍约姆出生在圣彼得堡的一个音乐世家。他们婚后有六个孩子，康托尔是他们的长子。1856年，康托尔随同全家移居德国的威斯巴登，并在当地的一所寄宿学校读书。后来，他在阿姆斯特丹读六年制中学。
1862年，康托尔开始了他的大学生活。他曾就学于苏黎世大学、格丁根大学和法兰克福大学。在那里，他从当时的几位数学大师，K.W.T.魏尔斯特拉斯（Weierstrass）、E.E.库默尔（Kummer）和L.克罗内克（Kronechen）那里学到了不少东西。特别是受到魏尔斯特拉斯的影响而转入纯粹数学。从此，他集中全力于哲学、物理、数学的学习和研究，并选择了数学作为他的职业。可是，最初他父亲并不希望他献身于纯粹数学，而是力促他学工。但是，康托尔越来越多地受到数学的吸引，于是年轻的康托尔作出了准备献身数学的决定。尽管他父亲对他的这一选择是否明智曾表示怀疑，但仍以极大的热情支持儿子的事业。同时还提醒康托尔要广泛学习各科知识，他还极力培养康托尔在文学、音乐等方面的兴趣。康托尔在绘画方面表现出的才能使整个家庭为之自豪。
由于康托尔一开始就具有献身数学的信念，这就为他创立超穷集合论这一数学史上令人惊异的成就奠定了基础。尽管19世纪末，他所从事的关于连续性和无穷的研究从根本上背离了数学中关于无穷的使用和解释的传统，从而引起了激烈的争论乃至严厉的谴责，但是他不顾众多数学家、哲学家甚至神学家的反对，坚定地捍卫了超穷集合论。也正是这种坚定、乐观的信念使康托尔义无反顾地走向数学家之路，并真正取得了成就。
然而在柏林，康托尔的老师克罗内克几乎有无限的权力。他是一个有穷论者，竭力反对康托尔“超穷数”的观点。他不仅对康托尔的工作进行粗暴的攻击，还阻碍康托尔到首都柏林工作，使康托尔得不到柏林大学的职位。由于他的攻击，还使数学家们对康托尔的工作总抱着怀疑的态度，致使康托尔在1884年患了抑郁症。最初发病的时间较短，1899年，来自事业和家庭生活两方面的打击，使他旧病复发。这年夏天，集合论悖论萦绕在他的头脑中，而连续统假设问题的解决仍毫无线索。这使康托尔陷入了失望的深渊。他请求学校停止他秋季学期的教学，还给文化大臣写信，要求完全放弃哈雷大学的职位，宁愿在一个图书馆找一份较为轻松的工作。但他的请求没有得到批准，他不得不仍然留在哈雷，而且这一年的大部分时间是在医院度过的。
同时，家庭不幸的消息也不断传来。在他母亲去世三年后，他的弟弟G.康士坦丁（Constantin）从部队退役后去世。12月16日，当康托尔在莱比锡发表演讲时，得到了将满13岁的小儿子G.鲁道夫（Rudolf）去世的噩耗。鲁道夫极有音乐天赋，康托尔希望他继承家族的优良传统，成为一个著名的小提琴家。康托尔在给F.克莱因（Klein）的信中不仅流露出他失去爱子的悲痛心情，而且这使他回想起自己早年学习小提琴的经历，并对放弃音乐转入数学是否值得表示怀疑。
到1902年，康托尔勉强维持了三年的平静，后又被送到医院。1904年，他在两个女儿的陪同下，出席了第三次国际数学家大会。会上，他的精神又受到强烈刺激，他被立即送往医院。在他生命的最后十年里，大都处在一种严重抑郁状态中。他在哈雷大学的精神病诊所里度过了漫长的时期。1917年5月，他最后一次住进这所医院直到去世。
康托尔的工作大致分为三个时期。早期，他的主要兴趣在数论和经典分析等方面；之后，他创立了超穷集合论；晚年，他较多地从事哲学和神学的研究。康托尔的成就不是一直在解决问题，他对数学最重要的贡献是他询问问题的特殊方法，从而开创了大量新的研究领域。这使他成为数学史上最富于想象力，也是最有争议的一位大数学家。
1926年，希尔伯特称康托尔提出的超穷数理论，是“数学思想最惊人的产物，是在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，是“数学精神最令人惊羡的花朵，人类理智活动最漂亮的成果”。罗素把康托尔的工作描述为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”。苏联著名的数学家A.N.科尔莫戈洛夫（Kolmogorov）说过：“康托尔的不朽功绩，在他敢于向无穷大冒险迈进。他对似是而非之论、流行的成见、哲学的教条等作了长期不懈的斗争，由此使他成为一门新学科的创造者。这门学科（指集合论）今天已经成了整个数学的基础。”
克莱因（Klein，1849—1925）在杜塞尔多夫读的中学，毕业后，他考入了波恩大学学习数学和物理。他本来是想成为一位物理学家的，但是数学教授普律克改变了他的主意。1868年，克莱因在普律克教授的指导下完成了博士论文。
1868年，普律克教授去世，留下了未完成的几何基础课题。克莱因是完成这一任务的最佳人选。后来克莱因又去服了兵役。1871年，克莱因接受格丁根大学（也译作哥廷根大学）的邀请担任数学讲师。1872年，他又被埃尔朗根大学聘任为数学教授，这时他只有23岁。1875年，他在慕尼黑高等技术学院取得了一个教席。在这里，他的学生包括胡尔维茨、冯戴克、洛恩、普朗克、毕安奇和里奇。五年之后，克莱因应邀去莱比锡大学讲授几何学。在这里他和他过去出色的学生冯戴克、洛恩、司徒迪和恩格尔等成为同事。
1886年，克莱因接受了格丁根大学的邀请，开始了他的数学家生涯。他讲授的课程非常广泛，主要是数学和物理之间的交叉课题，如力学和势论。他在这里工作直到1913年退休并实现了要重建格丁根大学作为世界数学研究的重要中心的愿望。
著名的数学杂志《数学年刊》就是在克莱因的主持管理下才能在重要性上达到和超过了《克莱尔杂志》的。这本杂志在复分析、代数几何和不变量理论方面很有特色，在实分析和群论新领域也很出色。
要了解克莱因在几何学上所作的贡献是有点难的，因为即使用我们今天的数学思想来理解他的研究结果也是很困难的。
克莱因在数学上作出的第一个贡献是在1870年与李雅普诺夫合作发现的库默尔面上曲线的渐近线的基本性质，他进一步与李雅普诺夫合作研究Ｗ曲线。1871年，克莱因出版了两篇有关非欧几何的论文，论文中证明了如果欧氏几何是相容的，那么非欧几何也是相容的。这就把非欧几何置于与欧氏几何同样坚实的基础之上。
克莱因在他著名的爱尔兰根纲领中，以变换群的观点综合了各种几何的不变量及其空间特性，并以此为标准来分类，从而统一了几何学。今天这些观点已经成为大家的标准。变换群在现代数学中扮演着主要角色。克莱因指明了如何用变换群来表达几何的基本特性的方法。
而克莱因认为自己对数学的贡献主要在函数理论上。1882年，他在一篇论文中用几何方法来处理函数理论并把势论与保形映射联系起来。他也经常把物理概念用在函数理论上，特别是流体力学。
克莱因对大于四次的方程特别是用超越方法来解五次的一般方程感兴趣。在厄尔米特和克隆耐克尔建立了与布里奥斯奇类似的方法之后，克莱因立刻就用二十面体群去试图完全解决这个问题。这个工作导致他在一系列论文中对椭圆模函数的研究有了新的突破。
1884年，克莱因在他的一本关于二十面体的重要著作中，得到了一种连接代数与几何的重要关系，发展了自守函数论。他和一位来自莱比锡的数学家罗伯特·弗里克合作出版了一套四卷本的关于自守函数和椭圆模函数的著作，这本著作影响了以后的数学研究20年。另一个计划是出版一套数学百科全书，他积极地参与到这项工作中，与穆勒一起编辑力学部分的四卷。
1885年，克莱因被英国皇家学会选为国外会员并被授予科普勒奖金。
1908年，克莱因被国际数学会选为在罗马召开的数学家大会主席。
庞加莱（Ponicare，1854—1912），法国著名的数学力学家。由于他的贡献涉及数学、力学、物理和天文学，在数学上又在分析和几何方面都有杰出的造诣，所以人们称他为数学史上最后的一位天才。他幼年时期恰逢普法战争，又由于自己视力、运动协调性不好，所以个人发展并不十分顺利。但是他有着惊人的记忆力，而且对数学和力学情有独钟。他的堂兄弟雷蒙·庞加莱曾在第一次世界大战期间担任过法国总统。
1879年，庞加莱获得博士学位。其后在巴黎大学教学，讲授数学分析、数学物理、概率论、天文学等课程。1887年，他被选为法国科学院院士；1906年，当选法国科学院院长。
为了庆贺1889年瑞典和挪威国王奥斯卡二世（King OscarⅡ）的六十年诞辰，1885年到1886年斯德哥尔摩出版的《数学学报》（Acta Mathematica）的第6卷上宣布了一项数学科学的悬赏，该项奖金将发给第一个得到ｎ体问题一般求解途径的人。1888年5月，庞加莱提交了他的关于三体问题运动稳定性的一般证明的论文。该论文经过大数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass）和米塔格-累夫勒（Mittag-Leffler）的审查，1889年1月21日，庞加莱获得了这笔额度为2500克朗的奖金。
庞加莱的这篇论文准备在《数学学报》上发表。当时出版文章的排印周期相当长，需要从1889年4月等到10月。在排印庞加莱的论文过程中，由米塔格-累夫勒任命的编辑Edward Phragmen在阅读文章并进行编辑加工时，发现有些段落不够清楚。米塔格-累夫勒把这个问题告诉了庞加莱，并且希望他写一个注记附在论文的后面。当年的秋天，庞加莱才发现论文的另外部分包含了一个严重的错误，并且在11月30日打电报给米塔格-累夫勒，希望马上停止印刷，以等待改正的信件。
在已经得到了奖金并且又发现了错误的情况下，庞加莱经受着巨大的压力，要在尽可能短的时间内改正这篇论文。但是直至1890年1月，庞加莱才提交了他的改正论文，而这时登载包含错误论文的《数学学报》也已印好。庞加莱原来的论文是158页，而改正后的论文有270页之多。为了维护该学报的信誉，杂志的主编米塔格-累夫勒决定将已印好的学报收回销毁，重新印发改正后的论文。为此庞加莱不得不支付了3585克朗作为对该杂志的补偿，其数额大大超出了他所得到的奖金。
庞加莱的这项工作实际上就是他后来出版的重要著作《天体力学的新方法》三卷（分别于1892年、1893年、1899年出版）的主要内容，它标志着天体力学和动力系统发展的一个新阶段。论文中最初的错误就是疏忽了对所发生的同宿轨道的处理，在这种情形下所讨论的三体问题可以是不稳定的。人们认为庞加莱的这项工作实际上就是现今所说的“混沌”的最早的研究。不过他的研究还是限于在平面上的动力系统外加一个微小的扰动情形。
D.希尔伯特（David Hilbert，1862—1943），德国数学家，生于东普鲁士哥尼斯堡（现俄罗斯加里宁格勒）附近的韦劳。中学时代，希尔伯特就是一名勤奋好学的学生，对于科学特别是数学表现出浓厚的兴趣，善于灵活和深刻地掌握以至应用老师讲课的内容。1880年，他不顾父亲让他学法律的意愿，进入哥尼斯堡大学攻读数学；1884年获得博士学位，后来又在这所大学里取得讲师资格和升任副教授；1893年被任命为正教授；1895年转入格丁根（也译作哥廷根）大学任教授，此后一直在格丁根生活和工作；1930年退休。在此期间，他成为柏林科学院通讯院士，并曾获得施泰讷奖、罗巴切夫斯基奖和波约伊奖。1930年获得瑞典科学院的米塔格—莱福勒奖，1942年成为柏林科学院荣誉院士。
希尔伯特是一位正直的科学家，第一次世界大战前夕，他拒绝在德国政府为进行欺骗宣传而发表的《告文明世界书》上签字。战争期间，他敢于公开发表文章悼念“敌人的数学家”达布（Darboux）。上台后，他抵制并上书反对政府排斥和迫害犹太科学家的政策。由于政府的反动政策日益加剧，许多科学家被迫移居国外，曾经盛极一时的格丁根学派衰落了，希尔伯特也于1943年在孤独中逝世。
希尔伯特是对20世纪数学有深刻影响的数学家之一。他领导了著名的格丁根学派，使格丁根大学成为当时世界数学研究的重要中心，并培养了一批对现代数学发展作出重大贡献的杰出数学家。
希尔伯特的数学工作可以划分为几个不同的时期，他在每个时期几乎都集中精力研究一类问题。按时间顺序，他的主要研究内容有：不变式理论、代数数域理论、几何基础、积分方程、物理学、一般数学基础，其间穿插的研究课题有：狄利克雷原理和变分法、华林问题、特征值问题、“希尔伯特空间”等。在这些领域中，他都作出了重大的或开创性的贡献。
希尔伯特认为，科学在每个时代都有它自己的问题，而这些问题的解决对于科学发展具有深远意义。他指出：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡和终止。”在1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是19世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。这23个问题通称“希尔伯特问题”，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，起到了积极的推动作用。希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未解决。
他在讲演中所阐发的相信每个数学问题都可以解决的信念，对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。他说：“在我们中间，常常听到这样的呼声：这里有一个数学问题，去找出它的答案！你能通过纯思维找到它，因为在数学中没有不可知。”30年后，于1930年在接受哥尼斯堡荣誉市民称号的讲演中，针对一些人信奉的不可知论观点，他再次满怀信心地宣称：“我们必须知道，我们必将知道。”
希尔伯特的《几何基础》（1899）是公理化思想的代表作，书中把欧几里得几何学加以整理，成为建立在一组简单公理基础上的纯粹演绎系统，并开始探讨公理之间的相互关系与研究整个演绎系统的逻辑结构。1904年，他又着手研究数学基础问题，经过多年酝酿，于20世纪20年代初，提出了如何论证数论、集合论或数学分析一致性的方案。他建议从若干形式公理出发将数学形式化为符号语言系统，并从不假定实无穷的有穷观点出发，建立相应
的逻辑系统，然后再研究这个形式语言系统的逻辑性质，从而创立了元数学和证明论。希尔伯特的目的是试图对某一形式语言系统的无矛盾性给出绝对的证明，以便克服悖论所引起的危机，以期一劳永逸地消除对数学基础以及数学推理方法可靠性的怀疑。然而，1930年，奥地利数理逻辑学家哥德尔（K.Gdel，1906—1978）获得了否定的结果，证明了希尔伯特方案是不可能实现的。但正如哥德尔所说，希尔伯特有关数学基础的方案“仍不失其重要性，并继续引起人们的高度兴趣”。
希尔伯特的著作有《希尔伯特全集》（三卷），其中包括他的著名的《数论报告》《几何基础》《线性积分方程一般理论基础》等，与其他人合著有《数学物理方法》《理论逻辑基础》《直观几何学》《数学基础》。
伯特兰·罗素（Bertrand Russell，1872—1970），1872年5月18日生于英格兰蒙茅斯郡的特雷勒克，1970年2月2日卒于威尔士的彭林代德赖思附近的帕莱斯彭林。英国哲学家，逻辑实证主义者，著有《西方哲学史》等。
罗素出生于一个贵族家庭。祖父约翰·罗素（John Russell）伯爵是一位著名的自由党政治家，他于1832年提出第一个议会选举法修正案，并两次出任英国政府首相。罗素两岁时母亲去世，3岁时父亲也去世。于是，罗素和他的哥哥便与祖父祖母生活在一起，由祖父祖母照管。罗素6岁时，祖父去世。祖母活到了1898年，她对罗素在童年和青少年时期的发展有决定性的影响。祖母出生于一个贵族的教徒的家庭，具有非常强烈的道德信念和宗教信仰，在政治上较为激进。她曾用一条箴言告诫罗素：“你不应该追随众人去做坏事。”罗素一生都努力遵循这条准则。罗素少年时未被送到学校去学习，只是在家里接受保姆和家庭教师的教育。他的童年和少年时代是孤独的。由于他的一个叔叔的影响，他从小就对科学产生了兴趣。在哥哥的帮助下，他11岁时就掌握了欧几里得几何学，这是他智慧发展的重要转折。
1890年10月，罗素考入剑桥大学，在三一学院学习数学和哲学。在此期间，他结识了当时剑桥大学的数学讲师Ａ.Ｎ.怀特海（Whitehead）、哲学家G.E.穆尔（Moore）和E.麦克塔格（Mc Taggart）以及其他一些历史学家、经济学家、诗人和散文家。从1895年至1901年，他任三一学院研究员。在此期间，罗素撰写了《论几何学的基础》（An Essay on the Foundations of Geometry，1897）一书。这本书的主题是用I.康德（Kant）关于数学是先验综合判断的思想来检查几何学的发展和现状，他用稍加修改的康德的观点来评价非欧几何学的产生。但后来罗素对这本书的评价甚低。罗素最初在哲学上受G.Ｗ.Ｆ.黑格尔（Hegel）哲学的影响较大，1898年在G.E.穆尔的劝说下抛弃了黑格尔的哲学观点，参加了反叛绝对唯心主义哲学的运动，从此转变为经验主义者、实证主义者和物理主义者。罗素说过，在这个时期，“就哲学的基本问题而言，在所有的主要方面，我的立场都来自G.E穆尔先生……在数学上，我主要受惠于G.康托尔（Cantor）和G.皮亚诺（Peano）教授。”（注：此段话语源于罗素著《数学的原理》，The Principlesn of Mathematics，1903。）
从1900年至1914年，罗素主要从事数理逻辑和数学基础的研究，他在这个领域中最重要的工作都是在这个时期完成的。从1910年至1916年，罗素任三一学院哲学讲师。从20年代至40年代，罗素主要从事哲学方面的研究和讲学。罗素用“逻辑原子主义”来称呼他的哲学。他的主要哲学著作有《神秘主义和逻辑》（Mysticismand Logic，1918），《心的分析》（Theanalysis of Mind，1921），《物的分析》（The Analysis of Matter，1927），《意义和真理研究》（An Inquiry into Meaning and Truth），《人类知识：它的范围和限度》（Human Knowledgeits Scope and Limits，1948），等等。从1916年至20世纪30年代后期，罗素没有任何学术职务，他以写作和公开演讲为生。1920年至1921年，他曾访问过苏联和中国。他在中国讲学近一年，给我国哲学界以很大的影响。1938年，罗素迁往美国，先后在芝加哥大学、加州大学任教。1941年至1943年，他在费城讲学。1944年，他返回剑桥，重任三一学院研究员直到去世。
20世纪50年代后，罗素从哲学转向国际政治，他反对核战争，主张核裁军。1955年，他动员包括爱因斯坦（Einstein）在内的许多著名科学家签署了一个为争取世界和平而合作的宣言。1964年，他建立了罗素和平基金会，抨击美国政府的侵略政策。1967年后，他与存在主义者萨特（Sartre）建立了一个国际战犯审判法庭，并传讯美国总统约翰逊（Johnson）。由于罗素积极从事政治活动，让他晚年享有了世界范围的名望。罗素一生中曾三次竞选下院议员，但都没有成功。他曾两次被捕入狱，其原因是因为他伸张民主和参加核裁军运动。
罗素于1908年当选为英国皇家学会会员。1949年，他成为英国科学院的荣誉院士，同年还被授予功勋奖章。他曾两度担任亚里士多德学会的会长，并担任理性主义者新闻协会会长多年。1950年他获得诺贝尔文学奖。诺贝尔奖奖金委员会在授予他奖金时称他为“当代理性和人道的最杰出的代言人之一，西方自由言论和自由思想的无畏斗士”。
罗素一生曾四次结婚，有三个孩子。1931年，由于他哥哥去世，他成为罗素伯爵三世。
19世纪下半叶，数学家对微积分的理论基础进行了严格处理。魏尔斯特拉斯（Weierstrass）用“ε—δ”方法重新表述了柯西（Cauchy）的极限论，把微积分理论建立在实数理论的基础上；接着，戴德金（Dedekind）和康托尔分别从有理数出发定义了实数；之后，魏尔斯特拉斯和皮亚诺从自然数出发定义了有理数，并且皮亚诺还从不经定义的“集合”“自然数”“后继者”等概念出发，用公理化的方法阐述了自然数理论；最后康托尔建立了无穷集合的理论。康托尔的这项工作起源于对三角级数和数学基础问题的研究，他先提出了点集理论，进而又提出了一般无穷集合论。与此同时，数理逻辑通过布尔（Boole）、施罗德（Schroder）、皮亚诺和弗雷格（Frege）等人的工作得到了长足的进步。但是除了少数人如弗雷格和皮亚诺外，许多数学家都忽视了逻辑的作用，看不到数理逻辑对数学基础研究的重要性。
1900年7月，罗素到巴黎参加国际哲学会议时遇到了皮亚诺，这件事对罗素的学术生涯来说是一个重大的转折点。通过聆听皮亚诺的讲话，罗素才意识到数理逻辑对于数学基础研究的重要性。于是罗素向他请教并表示希望拜读他的著作，在读完皮亚诺的有关著作后，罗素很快地掌握了皮亚诺的符号逻辑和思想，在此基础上，他开始了数理逻辑和数学基础的研究工作，其主要成果是《数学的原理》一书。该书的大部分写于1900年下半年，全书于1903年出版。从此之后到1914年，罗素与怀特海合作进行这方面的研究，他撰写了30余篇有关论文。1910年至1913年，他与怀特海合著的三卷本巨著《数学原理》（Principla Mathematica）陆续出版。1919年，他又出版了该著作的通俗读本《数理哲学导论》（Introduction Tomathematical Philosophy）。
在数学基础和数理逻辑方面，罗素的主要成就有两个方面：一是他通过建立逻辑类型论来消除逻辑悖论；二是他从一个较为简单的逻辑系统出发加之少量非逻辑公理推导出经典数学。
罗素发现著名的罗素集合论悖论（以下简称罗素悖论）是在1901年。开始他似乎觉得“所有这个类都是一个类”，后来由于受到康托尔证明没有最大的基数方法的启发，“使我考虑不是自己的项的那些类，好像这些类一定成一类。我问自己，这一个类是不是它自己的一项。如果它是自己的一项，它一定具有这个类的分明的特性，这个特性就不是这个类的一项。如果这个类不是它自己的一项，它就一定不具有这个类的分明的特性，所以就一定是它自己的一项。这样说来，二者之中无论哪一个，都走到它相反的方面，于是就有了矛盾。”一年以后，罗素将上述结果写信告诉了弗雷格。弗雷格回答说，罗素悖论的发现使他非常惊愕，由于这个悖论，他的《算术原理》（Grundgesetze der Arithmetik，vol.Ⅰ，1893，vol.Ⅱ，1903）中的第五公理便是错的，必须予以剔除，于是他认为算术的基础发生了动摇。（注：此段话语源于罗素著《我的哲学的发展》My Philosphocal Development，1959，第66~67页。）
1906年，Ｈ.庞加莱研究了里夏尔（Richard）悖论之后提出，悖论的根源在于非直谓定义。如果Ｘ是类Ａ的一个成员，但定义Ｘ时又需要依赖于A，则这种定义称为非直谓的。显然这种定义具有循环定义，即“反身自指”的特征。罗素吸取了庞加莱的这个思想，提出了避免悖论的“恶性循环原则”，认为：凡包含一个集体的总体的对象，它不应再是集体的一个成员；反之，假如一个集体有一个总体，该集体又含有只能由它的总体来定义的成员，则该集体没有总体。遵循这条原则便可以避免“反身自指”的不合逻辑的总体的产生，而这种不合法总体正是导致悖论的基础。在无类论和恶性循环原则的基础上，罗素于1908年在论文《以类型论为基础的数理逻辑》（Mathematical Logicas Base on the Theory of Types）中进一步提出了分支类型论的理论。这个理论后来在《数学原理》的第Ｉ卷中也有详细的论述。
在数学基础研究方面，罗素继弗雷格之后奉行逻辑主义的研究纲领，其核心思想是认为可以将数学还原为逻辑学，从而奠定数学的牢固基础。他曾将纯数学定义为是由所有“P包含Q”这种形式的命题所构成的一个类，其中这P、Q的相同点在于它们都是包含一个或多个变元的命题，并且无论P还是Q都不包含任何非逻辑的常项。罗素想通过自己的工作表明：数学概念可以通过显定义从逻辑概念推导出来，而数学定理也可以通过纯粹的逻辑演绎法从逻辑公理推导出来。因此在他看来，在数学与逻辑之间完全划不出一条界线来，它们二者实际上是一门学科，它们的不同就像儿童与成人的不同，逻辑是数学的少年时代，数学是逻辑的成人时代。
在20世纪中，罗素是数学基础研究中逻辑主义学派的杰出领导者，是著名的数理逻辑学家，同时又是著名的哲学家和社会活动家，所有这些都是为世人公认的。
G.H.哈代（Godfrey Harold Hardy，1877—1947），1877年2月7日生于英国克兰利，1947年12月1日卒于剑桥。
哈代的父亲I.哈代（Hardy）是克兰利中学的教师，母亲索菲娅（Sophia）是林肯师范学院的教师，他还有一个妹妹。哈代的父母很有文化素养，也极重视数学，虽然因经济拮据未能上大学，却为儿女提供了良好的教育。
哈代在童年时代就有对数学的敏感。他在克兰利中学接受早期教育时，表现出在数论方面的早慧与多方面的才能。13岁时，他获得奖学金进入当时以数学家摇篮而著称的温切斯特（Winchester）学院学习。1896年又获入学奖学金进入剑桥大学三一学院继续深造，他的数学生涯从此与剑桥紧密联系起来。哈代很早就养成自由提问和探索的习惯，在剑桥开始学习时，他对于机械的授课模式不满，后来幸运地被允许转听应用数学家A.Ｅ.H.拉弗（Love）教授的课。这对于哈代后来成长为一名数学家至关重要。
哈代在其著作《纯粹数学教程》（A Course of Pure Mathematics）中生动地写道：“第一个使我拨云见日的是拉弗教授，他教了我几个学期，使我对分析有了第一个严肃的概念。但最使我感激的是他建议我阅读M.E.C若尔当（Jordan）的名著《分析教程》（Cours d"analyse）。我永远不会忘记我读那本杰作时的震惊，这是我这代数学家受到的第一个启迪，读这本书时我才第一次认识到数学真正意味着什么。”
哈代在大学学习期间成绩优异。1898年，他参加了剑桥的数学荣誉学位考试，这是剑桥大学的传统之一，始于18世纪。哈代成为一等及格者，这主要得益于他平时在迅速解题方面的有效训练，但对传统极具反抗精神的哈代认为这种考试是没有意义的。1900年，他被选为三一学院的研究员，随后以极大的热情投入到数学研究中，第二年与J.H.金斯（Jeans）共同获得了史密斯奖金。1906年，他成为三一学院的讲师，直到1919年一直在那儿工作。1900年到1911年间，哈代写出大量级数收敛、求积分及有关问题的论文，这些论文为他赢得了分析学家的声望。1908年，他的名著《纯粹数学教程》出版了，这部教科书改变了英国大学中的教学状况。1910年，他当选为英国皇家学会会员。随后，被哈代自称为生活中的真正的转折点出现了，1911年他开始了同J.E.李特尔伍德（Little wood）的长期合作，1913年他发现了S.A.拉马努金（Ramanujan）。
哈代比李特尔伍德大8岁，他们结识于1904年，在长达35年的合作中，联名发表了约100篇论文，其中包括丢番图逼近、堆垒数论、数的可积性理论、黎曼s函数、不等式、一般积分、三角级数等广泛的内容。哈代—李特尔伍德极大函数、哈代—李特尔伍德圆法、哈代—李特尔伍德定理等联系着二人名字的数学成果，正是他们亲密合作的写照。在他们集中合作的1920年到1931年间，哈代执教于牛津而李特尔伍德执教于剑桥，他们通过学院的邮政来邮寄数学信件，即使二人同在三一学院时也是如此，并且他们达成一种默契：当互相收到信件时，先不读解法，而是要独立解决其中的问题，直到取得一致意见，最后由哈代定稿。当时，一些不了解内情的国外数学家认为李特尔伍德根本不存在，只是哈代虚构的一个笔名。事实上，李特尔伍德本身就是一个出色的数学家。通过这种密切的学术合作，二人互相切磋促进，共同建立了20世纪上半叶具有世界水平的英国剑桥分析学派。
哈代称自己对拉马努金的发现是他一生中的一段奇妙的插曲。拉马努金出生于印度的马德拉斯（Madras），幼年即显示出对数学的兴趣和才能，但因生活贫困，要不断为生计奔波，只能靠自学汲取数学知识。1913年初他给哈代寄了一封信，信中陈述了他对素数分布的研究并列有120条公式，涉及数学中多个领域。这些公式大部分已被别人证明，有些看起来容易，实际上证明起来很困难。特别是后来被L.J.罗杰斯（Rogers）和G.Ｎ.沃森（Waston）证明的三个公式完全难倒了哈代。哈代确信拉马努金是一位数学天才，于是邀请他到英国。但作为一个婆罗门教的信徒，拉马努金对离开印度感到踌躇。哈代继续力劝拉马努金到剑桥，并经多方努力为他安排了奖学金。1914年4月，拉马努金来到英国。哈代花了很多心血教授拉马努金现代欧洲数学知识，他发现拉马努金知识的局限竟然与其深奥同样令人吃惊。
拉马努金对于证明仅有一种模糊不清的概念，对于变量的增量、柯西定理根本不熟悉，但是对于数值和组合方面的事实、连分数、发散级数及积分、数的分拆、黎曼ｓ函数和各种特殊级数却有深度的理解。他有很强的直觉和推理能力，其工作和思维方式多具挑战性。在哈代和李特尔伍德等人的帮助下，拉马努金进步很快，在素数分布、堆垒数论、广义超几何级数、椭圆函数、发散级数等领域取得了很多成果。他在欧洲的5年里发表了21篇论文、17篇注记，其中几篇是与哈代合作的。他和哈代一起对整数分拆问题做出了惊人的解决，首创了正整数n的分拆数p（n）的渐近公式，这无疑源自拉马努金那极强的洞察力和哈代对于函数理论的娴熟掌握。哈代与拉马努金的成功合作并未持续太久。1917年5月拉马努金患上了肺结核病，由于战争条件及宗教信仰的束缚，拉马努金未得到良好的医治；1919年2月回到印度，次年4月去世，他年仅33岁。哈代对这位印度数学奇才的英年早逝深感痛惜，他参与整理了拉马努金的论文集，并著有《拉马努金》（Ramanujan，1940）一书，书中包括关于拉马努金生活和工作的12篇演讲稿，比较详细地记述了拉马努金的生平和研究成果，并作了适当的评论，是了解和研究拉马努金的重要文献。哈代和拉马努金这一段交往也长期被数学界传为佳话。
哈代外貌帅气，很有风度。他和妹妹都终生未婚，他得到了胞妹的精心照料，尤其在他的晚年。1947年，哈代在剑桥辞世。
哈代被誉为20世纪杰出的分析学家，他的数学贡献涉及解析数论、调和分析、函数论等方面。他一生著述颇丰，共计有8部专业书籍和大约350篇论文，包括独著或合作的，全部在《伦敦数学会杂志》（Journal of the London Mathematical Society，1950）中列出。论文选从1966年开始在牛津出版了7卷，由伦敦数学会的成员校订，并附有注释。
作为一位知名数学家，哈代的人品和他的学问同样受到赞誉。他健谈，谈话可以吸引周围很多人；他严于律己，参加该出席的各种会议，履行自己的职责；他富于正义感，痛恨战争，一生中不喜欢任何虚伪的东西。
哈代为人谦和，经常强调其他合作者的重要性，而对自己轻描淡写，他曾说过正是得益于与李特尔伍德和拉马努金的平等合作，才达到了他不寻常的大器晚成。哈代具有出色的与他人合作的才能，E.Ｃ.蒂奇马什（Titchmarsh）、A.E.英哈姆（Ingham）、波利亚、Ｅ.兰道（Landau）、Ｍ.里斯等20世纪数学领域中的精英人物都曾是他的合作者。哈代引导许多年轻人迈入他们早期研究的大门，并在他们面临困难时给予帮助和鼓励。Ｎ.维纳（Wiener）在他的自传《我是一个数学家》（I am a Mathematician，1956）中多次表达了他对哈代的钦佩与感激之情。华罗庚在赴剑桥大学进修时亦得到过哈代的指导和帮助。1936年，华罗庚被维纳推荐给哈代，惜才的哈代对华罗庚极为赏识。华罗庚在解析数论，尤其是圆法与三角和估计方面的研究成果是与他在剑桥的学习和研究分不开的。
除热衷数学研究之外，哈代的主要兴趣在球类运动上，尤其对于板球，他是一个能够掌握最新技术的球手和经验丰富的评论家。
哈代曾说，他之所以选择数学作为自己的事业，主要是因为数学是他能做得最好的一件事，而不是由于别的堂皇的理由。他的数学成就基于他对数学的无限热爱和全身心投入。他说研究工作是他一生中经久不衰的一大乐事，数学是他为之耗尽了毕生精力的学科。
哈代在《一个数学家的自白》中表达了他对数学的看法。这本书在西方数学界有一定的影响，经常被引用，但其中的某些观点也是有争议的。对于数学是否有其自身的存在状态，哈代写道：“我认为数学实体是在我们之外而存在的，我们的作用就是去发现它、观察它，那些被夸张地描绘成我们的‘创造物’的定理，不过是我们观察的记录而已。”对于数学美，哈代认为“数学的美可能很难定义，但它的确是一种真实的美，最好的数学既是美的，同时又是严肃的”。哈代对数学应用于战争很反感。他将纯粹数学视为真正的数学而与应用数学划清界限。他得出结论：“纯粹数学就总体而论显然比应用数学有用。一个纯粹数学家似乎不仅在美学方面而且在实用方面都占有优势。因为有用的东西主要是技巧，而数学技巧主要是通过纯粹数学来传播的。”“真正的数学对战争毫无影响，是一门‘无害而清白’的职业”。
哈代被公认为他所处时代的英国纯粹数学的领导人，他的活力和热情清晰地印在所有认识他的人的记忆中，他的作品显示出了他过硬的专业知识和对英语文体的精通。“我曾为知识领域添砖加瓦，也曾帮别人添枝加叶；这些东西的价值，比起身后留下某种纪念物的大数学家或任何其他大大小小的艺术家们创造的价值，只是程度上有所不同，性质上并无差异。”这就是哈代对自己一生的总结和评价。
约翰·冯·诺依曼（John Von Nouma，1903—1957），美籍匈牙利人，1903年12月28日出生于匈牙利的布达佩斯，父亲是一个银行家，家境富裕，十分注意对孩子的教育。冯·诺依曼从小聪颖过人，兴趣广泛，读书过目不忘。据说他6岁时就能用古希腊语同父亲闲谈。
冯·诺依曼一生掌握了七种语言，而且他对读过的书籍和论文，能一句不差地将内容复述出来。1911年至1921年，冯·诺依曼在布达佩斯的卢瑟伦中学读书期间，就因崭露头角而受到老师器重。在费克特老师的个别指导下合作发表了第一篇数学论文，此时冯·诺依曼还不到18岁。他于1921年至1923年在苏黎世大学学习，很快又在1926年以优异的成绩获得了布达佩斯大学数学博士学位，此时冯·诺依曼年仅22岁；1927年至1929年，冯·诺依曼相继在柏林大学和汉堡大学担任数学讲师；1930年接受了普林斯顿大学客座教授的职位，西渡美国；1931年，他成为美国普林斯顿大学第一批终身教授，那时，他还不到30岁；1933年转到该校的高级研究所，成为最初六位教授之一，并在那里工作了一生。
冯·诺依曼是普林斯顿大学、宾夕法尼亚大学、哈佛大学、马里兰大学、哥伦比亚大学和慕尼黑高等技术学院等学校的荣誉博士。他是美国国家科学院、秘鲁国立自然科学院和意大利国立林肯学院等院的院士。1951年至1953年任美国数学会主席，1954年他任美国原子能委员会委员。
1954年夏，冯·诺依曼被发现患有癌症，1957年2月8日，在华盛顿去世，终年54岁。
冯·诺依曼在数学诸多领域都进行了开创性工作，并作出重大贡献。在第二次世界大战前，他主要从事算子理论、集合论等方面的研究。1923年关于集合论中超限序数的论文，显示了冯·诺依曼处理集合论问题所特有的方式和风格。他把集合论加以公理化，他的公理化体系奠定了公理集合论的基础。他从公理出发，用代数方法导出了集合论中许多重要概念、基本运算、重要定理等。特别在1925年的一篇论文中，冯·诺依曼就指出了任何一种公理化系统中都存在着无法判定的命题。
1933年，冯·诺依曼解决了希尔伯特第5问题，即证明了局部欧几里得紧群是李群。1934年他又把紧群理论与波尔的殆周期函数理论统一起来。他还对一般拓扑群的结构有深刻的认识，弄清了它的代数结构和拓扑结构与实数是一致的。他对算子代数进行了开创性工作，并奠定了它的理论基础，从而建立了算子代数这门新的数学分支。这个分支在当代的有关数学文献中均称为“冯·诺依曼代数”，是有限维空间中矩阵代数的自然推广。冯·诺依曼还创立了博弈论这一现代数学的又一重要分支，1944年发表了奠基性的重要论文《博弈论与经济行为》。论文中包含博弈论的纯粹数学形式的阐述以及对于实际博弈应用的详细说明。文中还包含了诸如统计理论等教学思想。冯·诺依曼在格论、连续几何、理论物理、动力学、连续介质力学、气象计算、原子能和经济学等领域都做过重要的工作。
冯·诺依曼对人类的最大贡献是对计算机科学、计算机技术和数值分析的开拓性工作。现在一般认为ENIAC（Electronic Numerical Integrator And Calculator，电子数字积分计算机）机是世界第一台电子计算机，它是由美国科学家研制的，于1946年2月14日在费城开始运行。其实由汤米、费劳尔斯等英国科学家研制的“科洛萨斯”计算机比ENIAC机问世早两年多，于1944年1月10日在布莱奇利园区开始运行。ENIAC机证明电子真空技术可以大大地提高计算技术，不过，ENIAC机本身存在两大缺点：一是没有存储器；二是用布线接板进行控制，甚至要搭接几天，计算速度也就被这一工作抵消了。ENIAC机研制组的莫克利和埃克特显然是意识到了这一点，他们也想尽快着手研制另一台计算机，以便改进。
1944年，诺伊曼参加原的研制工作，该工作涉及极为困难的计算。在对原子核反应过程的研究中，要对一个反应做出“是”或“否”的回答，解决这一问题通常需要通过几十亿次的数学运算和逻辑指令。尽管最终的数据并不要求十分精确，但所有的中间运算过程均不可缺少，且要尽可能保持准确。他所在的洛·斯阿拉莫斯实验室为此聘用了一百多名女计算员，利用台式计算机从早到晚计算，还是远远不能满足需要。无穷无尽的数字和逻辑指令如同沙漠一样把人的智慧和精力吸尽。
被计算机所困扰的诺伊曼在一次极为偶然的机会中知道了ENIAC计算机的研制计划，从此他投身到计算机研制这一宏伟的事业中，成就了一生中最大的丰功伟绩。冯·诺依曼由ENIAC机研制组的戈尔德斯廷中尉介绍参加ENIAC机研制小组后，便带领这批富有创新精神的年轻科技人员，向着更高的目标进军。1945年，他们在共同讨论的基础上，发表了一个全新的“存储程序通用电子计算机方案”。在这个过程中，冯·诺依曼显示出他雄厚的数理基础知识，充分发挥了他的顾问作用及探索问题和综合分析的能力。诺伊曼以“关于ENIAC的报告草案”为题，起草了长达101页的总结报告。报告广泛而具体地介绍了制造电子计算机和程序设计的新思想。这份报告是计算机发展史上一个划时代的文献，它向世界宣告：电子计算机的时代开始了。
程序内存是诺伊曼的另一杰作。通过对ENIAC的考察，诺伊曼敏锐地抓住了它的最大弱点——没有真正的存储器。ENIAC只有20个暂存器，它的程序是外插型的，指令存储在计算机的其他电路中。这样，解题之前，必须先选好所需的全部指令，通过手工把相应的电路联通。这种准备工作要花几小时甚至几天时间，而计算本身只需几分钟。计算的高速与程序的手工存在着很大的矛盾。
针对这个问题，诺伊曼提出了程序内存的思想：把运算程序存在机器的存储器中，程序设计员只需要在存储器中寻找运算指令，机器就会自行计算，这样，就不必每个问题都重新编程，从而大大加快了运算进程。这一思想标志着自动运算的实现，标志着电子计算机的成熟，成了电子计算机设计的基本原则。
1946年7月至8月，冯·诺依曼和戈尔德斯廷、勃克斯在ENIAC方案的基础上，为普林斯顿大学高级研究所研制IAS计算机时，又提出了一个更加完善的设计报告《电子计算机逻辑设计初探》。以上两份既有理论又有具体设计的文件，首次在全世界掀起了一股“计算机热”，它们的综合设计思想，便是著名的“冯·诺依曼机”，其中心就是有存储程序原则——指令和数据一起存储。这个概念被誉为“计算机发展史上的一个里程碑”，它标志着电子计算机时代的真正开始，指导着以后的计算机设计。
冯·诺依曼于1937年获美国数学学会的波策奖；1947年获美国总统的功勋奖章、美国海军优秀公民服务奖；1956年获美国总统的自由奖章和爱因斯坦纪念奖以及费米奖。冯·诺依曼逝世后，未完成的手稿于1958年以《计算机与人脑》为名出版。他的主要著作收集在六卷《冯·诺依曼全集》中，于1961年出版。另外，冯·诺依曼于20世纪40年代出版的著作《博弈论和经济行为》，使他在经济学和决策科学领域成为一块丰碑。他被经济学家公认为博弈论之父。当时年轻的约翰·纳什在普林斯顿求学期间开始研究发展这一领域，并在1994年凭借对博弈论的突出贡献获得了诺贝尔经济学奖。
靠女神托梦成就的数学家，这个印度人的故事，又一次让外面知道啥叫开挂
今天要介绍的是这位印度的著名数学神人——斯里尼瓦瑟·拉马努金。
剑桥大学三一学院，英国皇家学会会员、世界最顶尖的数学家哈代，一直到他的晚年，有人问他这辈子最大的成就是什么，哈代答——发现拉马努金。
拉马努金是谁呢？
1887年12月2日，拉马努金出生在印度一个没落的婆罗门家庭，爸爸是个会计，工资微薄，母亲无业，在家里做点杂活。
怎么形容他家呢，大概就是穷困潦倒——电影里那种衣衫褴褛、踩着破草鞋的可怜小孩就是他的真实写照。
7岁时，他被送到贡伯戈纳姆中学，一入学，他就开始展现自己惊人的数学天赋。
10岁前，他凭着自己的力量算出了地球赤道的长度。。。
12岁时，高年级的同学借给他一本数学家朗内写的《平面三角学》，在很短的时间里他就完全读懂了整本书，做出了书中所有的问题，还独立推导出了欧拉公式：
在他14岁时，不同寻常的事情又发生了——那个同学又给了他一本英国数学家卡尔写的《纯粹数学与应用数学概要》。
他打开这本书，发现里面有5000多个复杂的数学公式躺在那里，只写出了结果，而没有给出证明过程。
就在这时他发现，很多公式自己扫一眼，脑海中就能浮现出证明过程。
（扫一眼。。。）
要知道，这个时候的他距离第一次接触数学只有4年而已！而学校也只教过他最简单的数学运算。
（ps.就算老师讲的是个毛线，学霸也能把它织成毛衣...）
后来，他上了贡伯戈纳姆公立大学初级文科班，还拿了奖学金，可以说生活开始变好了。
然而，由于拉马努金对数学过分迷恋，把学习其他课程的时间都花费在数学上，最后考试失败，不能升到高级班，奖学金也没了。
而这又导致了后面一系列学习上的失败，他只好辍学出来工作。（这个例子可以告诉娃们，天才偏科也会导致辍学啊，更不要说普通人了！）
不过，辍学的拉马努金并没有放弃数学。
接下来，我们要进入玄学的领域，请大家扶好坐稳！
拉马努金出生于婆罗门家庭，他地信仰婆罗门教，他宣称他的家族女神纳玛姬莉会给他数学上的灵感。
怎么给他灵感呢，做梦！
不要以为我在骂人，我说的是真的做梦。
他每天晚上睡觉的时候都会梦到娜玛卡尔女神：
在梦里，娜玛卡尔女神给让他既兴奋又快乐，醒来以后，他脑子里就会充满各种各样的公式！
每天清晨，他都要赶快拿出笔记本，把冒出来的公式记下来！
由于笔记本这种奢侈品他家买不起，所以每次女神给他恩惠的时候，他只把最终得出的最简化的公式抄到本上。
从那以后女神每天都出现在他的梦里给他灵感，几年下来，他记了600多页笔记，得到了3900个复杂的公式！
这些公式的样子是酱婶的：
还有酱婶：
这就相当于爱因斯坦什么都没干，一觉醒来就得出了E=MC平方的质能方程；
相当于牛顿在苹果树下睡了个午觉，醒来就写下了三大运动定律。。。
然而最可怕的不是这些公式，而是没有人能理解他的公式！
正常人推导出一个公式，往往是遵循一定的规律，一步一步得出答案，而拉马努金往往是没有过程，直接脑子里冒出一个结果，他自己都不知道怎么来证明它们！
由于当时印度的数学水平很落后，上小学的时候，他的同学就说“我们，包括老师在内，完全不能了解他”，不光是不能了解，甚至觉得他是痴人说梦，为此拉马努金受了不少嘲讽。
其实这很容易理解，一道连数学老师都需要解十几步才能得出答案的数学题，拉马努金直接就可以把答案写出来，完全让人如坠五里雾，即便是他成年之后的数学家朋友们也总是抱怨他——大哥，能不能放慢你的脚步，我们跟不上啊！
操纵数字对于拉马努金来说，就像是呼吸一样的自然行为。
在朋友的鼓励下，1913年，他把自己成果中的一小部分寄给英国的两个著名数学家, 结果这两人都没有搭理他，他才再次鼓起勇气把信寄给了哈代，于是，就有了文章开头那一幕。
哈代当时在英国声名斐然，是英国最杰出的数学家，然而拉马努金的公式还是让哈代一脸懵逼，他认为拉马努金的公式完全打败了他，于是回信力邀拉马努金到剑桥工作。
一番波折，拉马努金终于去了。
然后哈代发现了更令他惊讶的事情——拉马努金几乎没受过任何像样的数学教育！许多常识性的数学知识他都不知道！
是的，他学数学，全靠自学。。。
拉马努金把他那本牛逼的神启笔记本拿给哈代看，哈代从头到尾看完后差点跪了——
笔记本里记录着整个欧洲数学史上几乎所有的重要的数学公式，而这只占了三分之一，剩下三分之二，是他完全没有见过大开眼界的全新公式！
哈代感慨道：他一个人战胜了整个欧洲数学界，他是超越整个世纪，1000年也遇不到的数学奇才！
两人的合作开始了，他和哈代一起发表了29篇重要的论文，为数学界做出了巨大的贡献。哈代将之描述为：“我一生中最浪漫的事件”。
哈代和拉马努金
在两个人合写的论文中，其中有一篇震惊了整个数学界，这篇论文为困扰了数学家几个世纪的整数分拆，提供了一种可靠的计算方法。
正是因为这篇论文，年仅30岁的拉马努金被评选为英国皇家学会会员，成为有史以来最年轻的会员。（对于任何科学家来说，能够当选皇家学会会员都是至高的荣誉。）
由于过度投入研究工作，也可能是慧极必伤，再加上信教的拉马努金只吃素，他的身体每况愈下。
1917年，他因劳累过度病倒，在英国最后两年，拉马努金长期处在病痛之中。但这一点也没有影响他的数学智慧。
《知无涯者》剧照
有一次，拉马努金又病倒了，哈代乘坐一辆出租车看望他，当他俩谈到出租车的号码时候，哈代说:“号码1729，毫无规律、相当单调，但愿它不是个不幸的兆头。”
拉马努金立刻回答:“不，这个数字有趣得很！它既是1的立方与12的立方之和也是9的立方与10的立方之和，而且有两种表达方式的数之中，1729是最小的。”
（求哈代的心理阴影面积）
后来这类数称为 “的士数”。
然而这次对话成为了两人最后的故事，拉马努金很快就去世了。
临终前，他最后一次梦到了他的女神，并且用手写下了最后一个数学公式：拉马努金θ函数。
这个公式让同时代所有的数学大师都看傻了，大家都理解不了，只能猜测它估计是某种神秘的函数。
直到近百年之后的2012年，这个谜团才被揭开。
科学家们说，这个公式对黑洞行为的研究具有帮助，要知道在100年前，拉马努金写下这个公式的时候，人类还根本不知道黑洞是啥！
后来，随着人类科技的进步，科学家们发现他那些令人费解的公式对现代人工智能、粒子物理、统计力学、计算机科学、密码技术和空间技术等不同领域都起着相当重要的作用！
他的数学公式引领了人类科学进步100年，有人说，他是上帝为了提升人类数学水平而被派往凡间的强化补丁！
现在，他的很多公式都已经得到了证明，不过他的动机和线索是什么？为什么他会想出那样的公式呢?究竟是进行什么样的运算得出了这样的公式?
有很多至今还是未解之谜。
也正因为如此，直到今天，还有一群数学、科学爱好者在追随着拉马努金的脚步，追寻拉马努金那些笼罩在神秘面纱下的脑回路。
本文选自公众号英华兰DrBing
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