截长补短截长补短法的方法总结

辅助线——截长补短

截长补短

遇到求证线段和差及倍半关系时，可以尝试截长补短的方法．截长指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段．题目中常见的条件有等腰三角形（即两条边相等），或角平分线（即两个角相等），通过截长补短后，并连接一些点，构造全等得出最终结论．

1．如图，若要求证AB＋BD＝AC，可以在线段AC上截取线段AB′＝AB，并连接DB，证明B′C＝BD即可；或延长AB至点C′使得AC′＝AC，并连接BC′，证明BC′＝BD即可．

2．如图，若要求证AB＋CD＝BC，可以在BC上截取线段BF＝AB，再证明CD＝CF即可；或延长BA至点F，使得BF＝BC，再证明AF＝CD即可．

3．在一个对角互补的四边形中，有一组邻边（AB＝AD）相等，可以使用补短的方法延长另外两边的一条，构建全等三角形．

【典型例题】——截长补短

042．如图，点D为等腰直角三角形△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA，则①DE平分∠BDC；②△BCE是等边三角形；③∠AEB＝45°；④DE＝AD＋CD，其中正确的有（）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解析】

解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，

∵∠CAD＝∠CBD＝15°，∴∠BAD＝∠ABD＝45°－15°＝30°，∴BD＝AD，

∴D在AB的垂直平分线上，∵AC＝BC，

∴C也在AB的垂直平分线上，即直线CD是AB的垂直平分线，

∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠CDE＝∠CAD＋∠ACD＝15°＋45°＝60°，

∴∠BDE＝∠DBA＋∠BAD＝60°；∴∠CDE＝∠BDE，即DE平分∠BDC；

（2）∵CE＝CA，∴∠CAE＝∠CEA＝15°，由①得∠CDE＝60°，∠DCB＝45°，

∴∠BCE＝60°，∵AC＝BC，∴CE＝BC，∴△BCE是等边三角形；

（3）由②得△BCE是等边三角形，∴∠BEC＝60°，∴∠AEB＝∠BEC－∠CEA＝45°；

（4）【方法一】

如图，在DE上取一点F，使得DF＝CD，并连接CF，

∵∠CDE＝∠BDE＝60°，∴∠BDC＝120°，△DCF为等边三角形，

∴∠DFC＝60°，DC＝FC，∴∠CFE＝∠CDB＝120°，

∵CB＝CE，∴△BDC≌△EFC，∴EF＝BD，

∴DE＝EF＋DF＝BD＋CD＝AD＋CD．

【方法二】

如图，延长DC至点F，使得CF＝AD，并连接EF，

∵AD＝DB，∴CF＝BD，∵等边△BCE，∴∠CBE＝∠BCE＝60°，BE＝CE，

∴∠DBE＝∠CBD＋∠CBE＝75°，∵∠BCD＝45°，∴∠ECF＝180°－∠DCE＝75°，

∴∠DBE＝∠ECF，∴△BDE≌△CFE，∴DE＝EF，

∵∠CDE＝60°，∴△DEF为等边三角形，∴DE＝DF＝DC＋CF＝AD＋CD．

【总结】线段和差的问题可以考虑使用截长补短的方法．

【举一反三】

042．（15十堰）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝3，且∠ECF＝45°，则CF的长为（　　）．

【截长补短】到底是什么？咋用呢？

各位学友好，八上【全等三角形系列】的学习视频，目前更新到了【专题2.6：截长补短】.

在【专题2.6：截长补短】的子专题里，我们给大家重点分享的实际上是一种【作辅助线】的思想方法. 大家可以打开这一节视频再看看，好好体会体会. 另外，大家回忆一下哈，在专题2.6之前，我们接触更多的是【几何模型】或者模型的变式图形，学友们还记得不？比如：角平分线模型，双高模型，中线构造全等，一线三垂直模型等等……我们也常说，学习和研究这些模型，还是要重点体会学习几何的方法，训练【几何学习思维】.

当然，初中几何的学习不仅仅是模型的学习，还有学友们普遍比较头疼的【添加辅助线】. 比如：什么时候需要辅助线？辅助线该怎么作？辅助线该怎么在解题过程当中描述？等等，这些是不是大家平时会遇到的“烦恼”啊？只顾着烦恼不行啊，还是要解决它. 比如你看【专题2.6：截长补短】这里，只有清楚了这些作辅助线的“问题”，才能明白本专题的学习重点. 学友们看看下面贴出来的专题2.6的总结框架图，基本上也是从这几个方面阐述的，并且给出了具体的6种解题思路和辅助线作法. 平时练习的时候，建议学友们还是多尝试几种不同的辅助线作法，多书写几种不同解题的方法. 目的还是在于要灵活运用【截长补短的思想】，体会【不同辅助线描述】下的不同解题过程，往往其复杂程度和书写量也会大不相同. 这一点，刘博士在后面的习题练习中也会跟大家详细讨论的.

好，还是那句话，【实践是检验真理的唯一标准】，咱们把专题2.6要分享的几道题目给大家贴在下面，也是从【截长补短】的【应用】角度出发，从基础应用，到综合应用，难度上循序渐进，大家好好体会体会哈，欢迎大家在评论区分享交流.