《九章算术》 是《算经十书》 中最重要的一个，大约在公元1 世纪编写。作者虽不详，但一般认为是西汉张苍、耿寿昌增补，经各朝作家增补，最终定稿。那时它几乎已经完成了。定书成书时间不晚于汉初，目前流通的书籍多为魏元景元四年（263年）刘徽所著的注本《九章》。三国时期。《九章算术》 内容非常丰富，战国秦汉时期的数学成就概括在一本书中。同时，第《九章算术》章在数学方面也有独特的成就，不仅首次提到分数问题，还首次记录了余数和不足数等问题。它还在世界数学史上首次解释了负数及其加减法的规则。这是一部综合性的历史著作，是当时世界上最简洁有效的应用数学著作，它的出现标志着中国古代数学完整体系的形成。数学成就《方程》 《九章算术》 数学成就是多方面的： （1）主要算术成就包括分数运算、比例问题、“余数不足”算法。《九章算术》是世界上最古老的系统解释分数运算的著作。第2、3、6章包含许多比率问题，使其成为世界上相对较早的著作。 “盈亏”算法是一个需要两个假设的创造，在中世纪的欧洲被称为“双重法”，有人认为它是从中国通过中世纪阿拉伯国家传播的。010到30000有比较完整的分数计算，包括四种算术运算、一般除法、归约、带分数转换为假分数（在日本古代称为一般除法neiji，“nei”读作“na”） "").包含方法。步骤和方法与现代几乎相同。关于分数的加法和减法，《九章算术》指定可以先组合分数，使两个分数的分母相同，然后再进行加法和减法。加法阶段是“母相乘而为实，母相乘为法，实为一为法”。这里的“果”就是分子。 “墨”为分母，意为“实如模加一”，指去除现实进行除法运算的做法。如果你对法律不满意，法律就会对你发号施令。换句话说，如果分子小于分母，则将其保留为分数。二是“同母异同直从”，即同分母分数相加或相减时，运算中不需要使用公分母，分子可以直接相加或相减。我可以。您还可以找到最大公约数或减少《九章算术》。求最大公约数的方法称为“东东减法法”。具体步骤是：“能减半就减半，不能减半就分母和孩子的个数”交换。减少数字，减去更多，找到等价物。""。按相等的数字进行转换。这里所说的“相等数”就是当前的最大公约数。 Half意味着分子和分母都是偶数，所以如果你想对折，就对折然后除以2。如果所有数字都不是偶数，则将分子和分母代入（或代入）计算中，用较大的数字减去小数，然后重复减去，直到余数和被减数相等，即数字相等。《九章算术》 的第2、3 和6 章广泛使用了各种比例解决方案应用问题。在玉米章节的开头，列出了各种谷物的兑换比例如下： “玉米怎么做：小米50，糯米30，糯米27，糯米20”-4，……”据说：5斗小米去皮，3斗小米去皮。你会得到糙米，你也可以把它捣碎得到2桶和7升90%的大米，或者你会得到8桶大米罐头，2桶和4升。例如，第一个问题玉米章节是，“我现在有一蒲式耳玉米。如果我想把它变成大米，需要多少钱？”这是解决方案： “将所有数字相乘得到实际比率，并将所有比率作为定律。真理就像定律。”
《九章算术》 第7 章“利润和短缺”专门讨论利润和损失问题及其解决方案。第一个问题是： ``今天，有人会一起买东西。每人捐出8（钱），剩下3（钱）。如果多于7（钱）且少于4（钱），则人数，价格请听。” “答案是7人，价格是53（钱）。” “盈亏技巧如下。设定产出率并分别处理盈余和赤字。然后，我们将乘法（即交错乘法）产生的速率视为实数，并将余数视为定律。 “规律和现实就是规律和现实。设定生产率，保持过剩少，用规律和现实的近似。实际价格是价格，规律是人数。”剩余不足。规律是解决应用的独特方法。中国数学史上的问题，在中国古代算法中占有非常重要的地位。这种盈缺法通过丝绸之路西传到中亚阿拉伯国家，在那里受到特别重视，被称为“契丹算法”，后来传入欧洲。它们长期以来一直是数学的王国。 (2)、《九章算术》 总结了生产生活实践中的大量几何知识，在方田、尚公、毕达哥拉斯，我是。
《九章算术》 方天章主要讲解如何计算平面图形中直线和圆的面积。《九章算术》 Kataden版本的第一个问题是，“今天，（Otomune）有一块16到15步宽的田地。请问我田地的形状。”“答案是1英亩” 这里的“广”是宽度的意思，“丛”是垂直的意思，是指它的长度。 ”方天舒说：乘以光从的步数得到乘积步数（得到乘积步数就是得到平方步数）“用方法，200到40步除以（实际上需要累加步数）并且这是英亩数。100 英亩等于1 公顷。”这就是当时对矩形的称呼。方形场地或直线场地。三角形称为龟田，面积公式为“蜀曰：宽度的一半乘以正丛”。这里，光指的是三角形的底，真工指的是底边的高，刘辉在他的笔记中本质上证明了这个公式。 “这叫直线场。”“也可以用半直线来增加宽度。”（图1-30）。过剩就是过剩，不足就是不足。 “补余”就是用余数来补缺的部分，是中国古代数学推导平面图形面积公式时所用的传统“填空法”。由上图可知，如果说“以余补不足”，凯塔就变成了，乘积等于直太，于是我们得到了凯塔的面积计算公式。 《方天章》第27、28题将直角梯形称为“斜田”。其面积公式为： “该技术指出：如果将两个Xie 场（即两个斜率）组合起来，则可以使用梯形的两个底），然后用其一半来乘以Xie 场并遵循。您可以.并且然后继续正义的一半……相乘并结合。”刘辉在备忘录中解释了他的证明方法如下：依然是“收发补”的方式。 《Akira Fata》第29 题和第30 题中，常见的梯形称为“吉田”，上下底分别称为“舌”和“跟”。面积的公式为：把你的舌头切成两半并利用它来为你带来好处。关于圆的面积，在Fata第《九章算术》章第31和32题中，其面积的计算公式如下。 “半圆半径的乘积就是步长的乘积。”这里，“周长”是指圆的周长，“直径”是指直径。这个圆的面积计算公式是正确的。只是直径是一周3次（即3）。因此，由此计算出的圆的面积不够准确。《九章算术》 尚公章收集了一些关于体积计算的问题。但尚公章并没有讨论长方体和正方体的体积算法。《九章算术》似乎是根据长方体和正方体的体积计算公式V=abc来计算其他三维图形的体积。《九章算术》商业徽记列出了城市、城墙、堤坝、沟渠、护城河和水道，但由于功能不同而有不同的名称，但本质上都是横截面为等腰梯形的正棱柱。哈：《蜀》 将上、下宽相加，乘以高、深，再乘以宽，分成两半，即叠腿。这里，上、下宽是指横截面的上、下底（a、b）的高度或深度（h），跨度是指城墙的长度（l）……因此，城市、墙体等体积计算公式为V=1/2(a+b)h。
图一刘辉在注释中将出入口互补原理推广到平面图形，运用到空间图形，并为了证明几何体积公式，写道：“以宽补窄”。 ” 这就是所谓的“损失”。刘辉还利用国际象棋实验推导出计算更复杂几何体积的公式。这就是所谓的棋验证方法，“棋”是指验证某种几何模型的方法，即利用几何模型的方法。例如，长方体本身就是一盘“棋”【图1-32（1）】如果你斜着看长方体，你会发现它的两个底边是直角的。直角三棱柱在日本古代被称为“切”（图1），因此切的体积是长方体体积的1/2。《九章算术》 商法典中还有计算圆锥体和截圆锥体（古称“圆亭”）体积的公式。三边也是等腰梯形，其余两条边是毕达哥拉斯五面体[图1-33(1)]，上下底是长方体伪圆柱体(旧时称为“条顿”) ，上底是你可以用一条线段，以矩形的底部为伪圆柱体来计算矩形的体积（古时称为“满吉”（manji）（读作“梦”） ""）。 （3）《九章算术》的代数内容也极其丰富，处于当时世界最高水平。 1.平方根和立方根《九章算术》描述了如何计算平方根和立方根，计算步骤基本相同。不同的是，古代是有计算的。这里，我们以小关篇第12题为例，讲解古代平方根计算的步骤。 “答案：235步。”这里的步长是我国古代的长度单位。 “平方根”技术（指平方根并从正方形面积中求出一条边的长度）如下。将乘积作为实数（即将Radikand数放在计算的第二行）。借用计算（指借用运算芯片，放在最后一行进行定位）。补智（指借来的算术筹码分阶段移动）、超一外（指借来的算术筹码从个位移至百位，或从百位移至万位等） 。这对应于现代书面算术中平方根的中间部分。 ) 结果（指初始商，实际万位数为5，即253，所以初始商为2。由于借位是几万，所以初始商2为前百位，方法为将借来的乘以一（意思是借来的乘以第一个商2计算为20000，然后将其放入“实数”中。以下是“将‘方法’的20000乘以第一个商2 得到40000 并从"Real" 中减去它：55225-40000=15225). Fa down ("fa " 乘以2 并向右移一位数得到4000) “固定方法” (10 位平方根为必填，所以“借计算”必须移到百位））。重置和借用计算步骤与之前相同。回顾并乘以1。通过表达式加除得到sub（本段中要求开平方根的10位数字必须放在百位；“实际”的千位数字是15，因此，431544 ，所以商为3，将3 放在商的十位，商乘以3，得到3 100=300，加上固定法，得到4000+300=4300 ，再乘以商，我们得到以下结果：34300=12900。从“实际”中减去我们得到：15225-12900=2325。得到的依赖模数和除法和之前一样（在本段中我们将计算和前面一样，即把3001+4300=4600向右移动一位，形成第三个平方根公式取460，即460，将借方计算移至个位，同意三者的商为5 ，将5放在商的个位上，取5+460=465，将三个商乘以5得到4655=2325，经过计算，上述计算基于图1-25 (1)至(10 ). 虽然计算看起来很复杂，但其实流程很清晰简单。平方根的原理是一样的。其中“借位计算”的右移和左移可以理解为一次转换和赋值从现代的角度来看。
《九章算术》年间，变换和代换尚未被理解，但这对宋元时期高阶方程的求解产生了重大影响。《九章算术》 方程一章中的“方程”特指多元线性方程组，与“方程”的含义不同。《九章算术》中多元线性方程组的解法是利用运算芯片将系数和常数项排列成“方阵”（因此得名“方程”）。消元法相当于现代大学高等代数课程中的线性变换。《九章算术》 由于用直除法求解联立线性方程组过程中不可避免地会出现正负数问题，因此在方程部分第3题中明确提出了正负数法。刘辉基本上在该方法的注释中提供了正数和负数的定义。 “这两种计算的得失是相反的，所以‘正数’和‘负数’必须以彼此的名字来命名。”而计算工具，或者说计算芯片上写着“正数是红色的” ，负数是有区别的，“数字是黑色的，否则邪恶和正确被认为是不同的东西。”这是因为它规定正数使用红筹码，负数使用黑筹码。如果只有相同颜色的筹码，如果遇到正数，则筹码正放，如果遇到负数，则筹码斜放（类似于对角线）。宋代以后开始书写计算时，用红黑数字来区分正负数，用个位数表示负数，如（即-1824），有时也写斜笔画。它的书写方式包含负数，也被传入日本。关于正负数的加减规则，“正负技法相似：同名相益，异名相隔，正不入负，负不入负”同名”和这里的“不同名称”分别对应于相同号码和不同号码。 “利”和“除”是指两个数的加减。本文的前四句是减法规则。 (1) 如果被减数的绝对值大于被减数的绝对值，即ab0，则同名有利：(a)-(b)=(a-b)，(a) -(称为b)=(a+b)。 (2)当被减数的绝对值小于被减数的绝对值时，即ba0时。 如果两个数都是正则数，a-b=a-[a+(b-a)]=-(b-a)。如果中间表达式中的a和a取消且(b-a)无法取消，则将“加”改为“减”，即“减号中不能包含加号”。 “无条目”意味着没有权利，即没有偏移（或缺少减法，或另一侧为零）。 如果两个数都是负数，则(-a)-(-b)=-a-[(-a)-(b-a)]=+(b-a)。中间的等式中，(-a)和(-a)抵消，但-(b-a)不能抵消，所以把“减”改为“加”，就可以将“减”转换为“加”。“我可以”不要这样做，”他们说。 当两个数其中一个为正，另一个为负时。那么，即使名称不同，也与(1)相同。技术文章的最后四句提到了正数和负数相加的规则。 (1)两个同号数相加，意味着它们具有相同的名称，并且它们的和的绝对值等于这两个数的绝对值之和。若a0,b0,a+b=a+b, (-a)+(-b)=-(a+b) (2) 两个符号不同的数相加实际上是减法，或者是除法。这是一个不同的名字。如果正数的绝对值很大，它们的和就是正数。换句话说，“积极的东西不一定是正确的”。如果负数的绝对值很大，则和为负数，即“负数不包含负数”。用符号表示，若ab0，则a+(-b)=[b+(a-b)]+(-b)=a-b或(-a)+b=[(-b)-(a-b)]+ b=- (a-b)。 如果ba0，则a+(-b)=a+[(-a)-(b-a)]=-(b-a)，或者(-a)+b=(-a)+[a+(b-a)]=b-a。关于正负数的乘法和除法规则，你可能会在《九章算术》时代遇到过正负数的乘法和除法。遗憾的是，本书中并没有提及，而元代朱世杰在《九章算术》年（1299年）所著的书中有明确的记载：“同名相乘为正，异名相乘为正”。 ……”这样的事还是第一次发生。 “同名相除的结果是负数。”“同名相除的结果是负数。”“不同名字相除的结果是负数。”这样，日本就有了到13世纪末掌握了有理数四大定律。全面总结。
我国在引入正负数的概念、形成正负数的加减规则方面都遥遥领先。第一个认识负数的外国人是7世纪的印度数学家Brahmin Ramada（约598-？），直到16世纪负数才在欧洲得到认识。
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