是数学中一个重要的数字，我想大家都知道圆周率的含义（圆周率与圆直径的比值），但是圆周率的值是怎么计算的呢？你知道吗？你知道你可以用家里的针或小米来计算圆周率吗？
计算圆周率的经典方法很久以前，古人注意到圆的周长与直径的比值是一个常数，并粗略地测量了这个值，可以直接测量直径并进行比较。但古代画的圆并不是完美的圆，测量精度不够，所以用这种方法得到的数值存在较大误差。 “三径第一，远近胜陈池。东井南池，异于江汉。”原来古人都信了。事实上，早在三国时期，中国数学家刘徽就发明了一种精确计算圆周率的方法。这也是中国数学史上第一个以任意精度数学计算圆周率的迭代算法。
图1 包皮原理：绿色是六边形，蓝色是十二边形，可以看出，十二边形的面积接近圆的面积，随着边数不断增加，其面积接近圆（图片来源：维基百科）刘辉的圆切割技术是基于计算圆面积的公式。刘辉将极限的概念应用到圆切割技术中，认为圆可以划分为多边形，如图1所示。划分得越细，多边形的边数就越多，面积也越大。多边形越来越接近圆的面积，但直到最后都没有区别。然后通过计算多边形的面积就可以得到的值。南北朝时期著名数学家祖冲之，利用刘徽的切圆术，计算了11次，将圆划分为12288个多边形，得出了近1000年来世界上最精确的圆周率值，找到了圆周率，即。
这些计算圆周率的方法已经足够有趣了，但是除了使用几何方法，如上面提到的使用针或小米来计算圆周率之外，还有一些非常有趣的计算圆周率的方法。 18世纪，数学家布丰提出了以下问题：考虑铺有平行且均匀分布纹理的地板（见图2）。假设您随机抛出长度小于颗粒之间距离的针。求一根针与其中一个颗粒相交的概率。这就是布冯手的问题。
图2 布丰针问题（图片来源：维基百科） 获得布丰针问题的答案需要概率论和微积分知识，但本文不会详细解释推导过程。如果针的长度为，平行线之间的长度为l"，则针与图案相交的概率P 可以计算如下。在实际的扔针过程中，如果扔针n次，h只会在这一点与纹理相交。这时我们可以看到，针实际飞得越多，计算出的就越准确。这种方法可能有风险，因为它需要多次抛针才能找到 的值。所以，接下来我们要介绍一种无风险的，只需要纸和小米就可以完成的计算的方法。—— 利用圆的面积公式的蒙特卡罗方法。我想聪明的读者已经给出了这个问题的答案。这意味着四分之一圆的面积大于正方形的面积。如果你抛出n 个点，其中h 个点在四分之一圆内，你就可以知道这一点。
图3 通过随机投掷点来估计的值（图片来源：wikipedia-nicoguaro）但是，为了获得足够准确的值，需要投掷n次，所以这种种子实验通常是用小米如果你在纸上做这个实验，可能会花很长时间来数小米（当然，你的视力也会有问题）。
Pi在数学中有着非常重要的意义，不仅仅用于计算圆的面积。经常会出现无法预料的问题。例如，数学中有一个著名的问题，称为巴塞尔问题。所谓巴塞尔问题就是求以下级数的和：这个问题最早由皮埃特罗·门戈利(Pietro Mengoli) 于1644 年提出，并由伟大的数学家欧拉(Euler) 于1735 年解决。很容易算出，这个级数之和约等于1.644934。数学家们并不知道这个级数与 有任何关系。然而，欧拉在1735 年给出的证明指出，这个级数的和是。这震惊了数学界，也让欧拉名声大噪。这个系列后来被黎曼推广，他定义了黎曼zeta 函数，即数学中最大的问题之一“黎曼猜想”的本体论。
计算Pi 的现代方法读完上一节后，一些读者可能想知道这个公式是否可以用来计算。毕竟，计算自然数平方反比似乎比割圆省力，比扔针扔小米更可靠。这个问题的答案显然是肯定的，目前的计算都是应用级数法来解决的。但用级数计算的效果并不好，数百项计算的精度也不如祖冲之高。这时，一位神灵——数学天才斯里尼瓦萨·拉马努金的出现，改变了这一现象。他习惯于直观地推导公式（或跳过步骤，因为它们被称为数感），并且不喜欢证明它们。他的理论往往后来被证明是正确的（学生和朋友不应该试图向他学习，否则考试时不会获得分数）。拉马努金对数学世界做出了巨大的贡献，但不幸的是，他年仅32岁就去世了。他的英年早逝，就像伽罗华20岁英年早逝、阿贝尔26岁英年早逝一样，是数学界的巨大损失。为什么他被认为是数学天才？让我们来看看他声称“梦想过”的一些公式。
图4 拉马努金给出的一些公式数学家在拉马努金的基础上提出了一个常用的计算圆周率的公式，即楚德诺夫斯基公式。使用此公式，一次计算即可获得 的12 项。数学家目前使用这个公式计算 以外的62.8 万亿位数字。
图5 Chudnovsky 公式除了Chudnovsky 公式之外，还有一些非常有趣的计算pi 的公式，例如Bayley-Bolwein-Plouffe 公式（BBP 公式）。这些公式允许您计算十六进制的pi。可以显示前一位数字并一起计算Pi。
图6 BBP计算公式
圆周率可以计算吗？数学家们长期以来一直期望圆周率具有特殊的属性，例如可以计算、在某些数字之后循环，或者表示为更简单的代数表达式。然而，这个期望很大程度上被上述伽罗瓦建立的群论击碎了。该理论表明是一个超越数。即，不是代数方程的根，不能表示为由代数表达式组成的代数表达式。对于有限长度的数字，精确表示 值的唯一方法是使用上述的无穷级数或积分。然而，数学界对提出了新的猜想，包括认为是一个“正常数”以及中出现的每个数具有相等的概率，但这一猜想尚未得到证明。然而，计算机科学家已经以详尽的方式证明了 包含所有八位数字。这意味着所有日期- 生日、毕业典礼、结婚纪念日等- 都将以 显示，但它不像现在那么好。找出你的生日在哪里。与?
我们真的需要知道吗？目前对的计算实际上远远超出了实际用途。用pi计算出与冥王星轨道半径相等的周长，其误差已经小了几十个数量级，已经小于原子核的尺度了。目前对圆周率的计算主要是为了测试超级计算机的计算能力。与寻找梅森素数和孪生素数一样，计算圆周率是超级计算机必须通过的“大考”。然而，即使是拥有强大计算能力的计算机也无法完全计算出，而仍然隐藏着无限的秘密，等待人类去探索。也许未来，人类可以自豪地安慰刘徽、祖冲之、欧拉、拉马努金等众多先贤说：“我们已经完全理解了”。出品：中国科普作者：食堂科普出品：中国科普博览会
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